文档介绍：平面向量的数量积及运算律
余洁
1
2021
学与教的目标
，
角度和垂直的问题
重点和难点
教学重点：平面向量数量积的定义
教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和
平面向量数量积的运用和推广。
2
2021
问题
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应当怎样计算？
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
数量 叫做力F 与位移s的数量积
3
2021
向量的夹角
两个非零向量 和 ，作 ，
与 反向
O
A
B
O
A
与 同向
O
A
B
B
则 叫做向量 和 的夹角．
记作
与 垂直，
O
A
B
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的
4
2021
例1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成共起点！
5
2021
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0．
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
（3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
6
2021
平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a ·b.
a ·b =|a | |b |cosθ
7
2021
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =-| a | · | b | ．
特别地
（4）
（5）a · b ≤| a | · | b |
8
2021
练****br/>1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．
7．对任意向量 a 有
√
×
×
×
×
×
√
8.
×
9
2021
例2、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的数量积；
（2）AB与BC的数量积；
（3） 的数量积.
A
B
C
10
2021