文档介绍：不等式
(1)能熟练地用区间表示集合;
(2)知道不等式的性质,能用不等式的性质进行判断;
(3) 会解一元一次不等式,一元二次不等式,含绝对值的不等式和由这些不等式构成的不等式组,并会将解集用集合表示出来。
知识要点
区间
设a、b为任意实数,且a < b我们规定:
(1)满足不等式的实数的集合叫闭区间,表示为。
(2)满足不等式的实数的集合叫开区间,表示为
(3)满足不等式或的实数X的集合叫左半开区间,表示为或
(4)满足不等式或的实数X的集合叫右半开区间,表示为或
2、不等式的性质
(1)实数的基本性质
设a,b R,则
说明:此性质体现了实数的大小顺序与运算性质之间的关系。
(2)不等式的性质
性质1 如果且则
性质2 如果且则
性质3 如果且则
如果且则
不等式的其他常用性质
性质
说明
如果,则
移项,是解不等式的常用变形
如果且则
两个或几个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向
如果且则
两个或几个两边都是正数的同向不等式,把它们的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向。
说明: 且则
若则
本知识点的考查以基础知识为主,但通常将不等式的几个性质归结在一个题目中进行,有时也可以与函数性质结合考查。
使一个不等式成立的未知数X取的每一个值叫做这个不等式的一个解。一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。求一个不等式的解集叫做解不等式。
解不等式的基本思路就是利用不等式的基本性质,通过同解变形,得出这个不等式的解集。
由几个含有相同未知数的不等式所组成的一组不等式叫做不等式组。解不等式组就是求这个不等式组中各个不等式解集的交集。
解一元一次不等式(或组)
一元一次不等式的最简形式为:
Ax>b,其中, 也可以换成或及
一元一次不等式解的情况(心为例,其中)
不等式的形式
A的范围
角的范围
一元一次不等式组的解的情况:
分别求出每一个不等式的解,然后利用数轴找出它们有公共部分。以两个一元一次不等式组成的不等式组为例,其解的情况如下(不妨设a<b)
不等式组的形式
解的范围
无解
解一元二次不等式
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。一般形式为:
,其中也可以换成或及
解一元干净不等式通常有两种方法:
方法一利用因式分解法求解
同解变形的依据是:
说明:应用因式分解法来解一元二次不等式的步骤是:首先将所给不等式右端变成0,然后将左端因式分解,再利用上面同解变形的依据,转化为一次不等式组,进而求解。
方法二利用一元干净函数性质求解
设不等式与( , , 是常数且)
如果的系数小于零,则不等式两边同乘以-1,使得一元二次函数的图像开口向上的抛物线,进而可以应用这个函数的性质解不等式。
不妨高,则函数、方程以及不等式(或<0)之间的关系如下:
判别式
二次函数在图像
一元二次方程的根
的解集
的解集
说明:应用一元二次函数性质来解一元二次不等式的步骤是:首先求出相应一元二次方程的根,然后根据上图表求出一元二次不等式的解集。这种方法体现了数形结合的数学思想,也从本质上揭示了一元二次方程、一元二次不等式与相应一元二次函数的联系,特别是当一元二次不等式的解集是特殊集合(如R, 等)时,这种方法更加直观和简练。
(3)含有绝对值的不等式
绝对值内含有未知数的不等式称为含有绝对值的不等式。
解含有绝对值的不等式的依据:
对于正实数a,有
说明:1现阶段,大纲只要求掌握会解含有一个绝对值符号的不等式。但对于利用绝对值定义求解的类型,或简单变形的就等式也要求能够解决。
2解含有绝对值的不等式特别要注意“且”与“或”的区别和联系。
3不等式(组)的解集通常用营养师肤浅,这样更简捷。
不等式的应用
秒等式的应用非常广泛,解题的关键的把非不等式的问题借助于不等式解决。这种化归和转化,是对学生基本能力和基本方法的考查。现阶段需要掌握以下方面:求函数的定义域,讨论方程的实根分布,解决与不等式有关的实际应用问题,求参数的取值范围等。
指数函数与对数函数
能将根式化为分数指数幂的形式,会利用幂的运算法则进行幂的运算。
会求出幂函数的定义域,并知道简单幂函数的图像及奇偶性和单调性。
能将指数形式和对数形式进行互化,知道对数的基本性质和简单应用,认识两个恒等式的形式和特点,会用对数运算法则进行对数运算及求值。
知道指数函数的图像特点和性质,能利用所知求一些复合函数的值域、凑数奇偶性、会比较两个幂值的大小等。
知道对数函数的图像特点和性质,能利用所知求一些复合函数的定义域、判断奇偶性、比较两个对数值的大小等。
会