文档介绍：一. 对称性的概念二. 晶体中允许的对称操作三. 晶体宏观对称性的表述:点群四. 七个晶系和 14 种晶体点阵五. 晶体的微观对称性:空间群六. 点群对称性和晶体的物理性质除去晶体点阵外,晶体的结构还能够用什么样的语言方便地描述? 对称性和布拉维格子的分类对称操作: 维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即:操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。点对称操作:在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。有限大小的物体,只能有点对称操作。对称元素: 对称操作过程中保持不变的几何要素: 点,反演中心;线,旋转轴;面,反映面等。 1对称性的概念: 一个物体(或图形)具有对称性,是指该物体(或图形)是由两个或两个以上的部分组成, 经过一定的空间操作(线性变换变换),各部分调换位置之后整个物体(或图形)保持不变不变的性质。一些图形的对称操作: ●●如何科学地概括和区别四种图形的对称性? 从旋转来看,圆形对绕中心的任何旋转都是不变的;正方形只能旋转才保持不变;后 2个图形只有的旋转。圆形的任一直径都是对称线;正方形只有 4条连线是对称线; 等腰梯形只有两底中心连线是对称线。 3 , , 2 2 ? ?? 2?以上,考察在一定几何变换之下物体的不变性,使用的几何变换(旋转和反射)都是正交变换——保持两点距离不变的变换: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ''' x a a a x y a a a y z a a a z ? ?? ???? ?? ????? ?? ???? ?? ???? ?? ???? 11 12 13 21 22 23 31 32 33 i j a a a A a a a a a a ? ?? ??? ?? ?? ???其中 A ij为正交矩阵从解析几何知道,符合正交变换的是: 绕固定轴的转动( Rotation about an axis ) 绕z 轴旋转θ角 cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 i jA ? ?? ??? ?? ??? ?? ?? ???数学上可以写作: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ij ij ij AAA ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ??? ?? ??? ?? ?? ??? ?? ?? ???????反演:( Inversion ) 1, (i) 反映( Reflection ) 恒等操作,m?( Z=0 的平面) 1(E) , , , , x y z x y z ????表示对称操作的符号有两种,这里用的是国际符号。如果,一个物体在某一正交变换下保持不变,我们就称这个变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多, 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性,它有 48 个对称操作:绕 4 条体对角线可以旋转共8个对称操作; 绕 3 个立方边可以旋转共9个对称操作;绕 6 条棱对角线可以转动π,共 6个对称操作;加上恒等操作共 24个。立方体体心为中心反演,所以以上每一个操作加上中心反演后, 仍为对称操作,因此立方体共有 48个对称操作。 2 4 , 3 3 ? ? 3 , , 2 2 ? ??通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24 个;正六角拄的对称操作也只有 24 个,它们都没有立方体的对称性高。请思考它们的对称操作? 数学上看,群代表一组元素的集合 G= { E,A,B,C,D, ……} 这些元素被赋予一定的乘法法则,满足下列性质: A,B ∈ G 则 AB = C ∈ G, 这是群的闭合性。 E,使所有元素满足: AE=A A,存在逆元素: AA -1 =E : A(