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数值计算方法上机题目3
一、计算定积分的近似值：
要求：
假如用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，要求误差限，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；
分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分；
将计算结果与准确解比拟，并比拟两种算法的计算量。
程序：
程序1〔求f〔x〕的n阶导数：
syms x
f=x*exp(x) %定义函数f〔x〕
n=input('输入所求导数阶数:')
f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数
结果1
输入n=2
f2 =
2*exp(x) + x*exp(x)
程序2：
clc
clear
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syms x%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可
f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd〔〕函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值
e=5*10^(-8) %精度要求值
a=1 %积分下限
b=2 %积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值
for n=2:1000000 %求等分数n
Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项
if abs(Rn)<e %用余项进展判断
break% 符合要求时完毕
end
end
h=(b-a)/n %求h
Tn1=0
for k=1:n-1 %求连加和
xk=a+k*h
Tn1=Tn1+f(xk)
end
Tn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))
z=exp(2)
R=Tn-z %求值与计算值的差
fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')
disp(Tn)
fprintf('等分数 n=')
disp(n) %输出等分数
fprintf('值与计算值的误差 R=')
disp(R)
输出结果显示：
等分数 n=7019
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2. Simpson公式
程序：
程序1：〔求f〔x〕的n阶导数〕：
syms x
f=x*exp(x) %定义函数f〔x〕
n=input('输入所求导数阶数:')
f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数
结果1
输入n=4
f2 =
4*exp(x) + x*exp(x)
程序2：
clc
clear
syms x%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可
f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可
f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd〔〕函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值
e=5*10^(-8) %精度要求值
a=1 %积分下限
b=2 %积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值
for n=2:1000000 %求等分数n
Rn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项
if abs(Rn)<e