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某某 14号
初中二次函数的解题方法
首先回顾一下初中二次函数的重要性质和根本表达式：
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像一样，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：。
。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧
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，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a
。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，如此二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置与二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△与系数的代数符号。
常见问题
1、抛物线中特殊点组成的三角形问题： 抛物线线中的特殊三角形主要有两类： 〔1〕、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；〔2〕、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式与二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。
2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。
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解决定点问题有两个解决方法：〔1〕特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点坐标。〔2〕转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。
3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以与抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．
4、二次函数与整数问题
二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以与某X围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．
5、二次函数的最值问题
定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，如此在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，如此在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否如此不存在最值．
在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。
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例1抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4，－11)，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负．如此a、b、c中为正数的〔 〕
A、只有aB、只有bC、只有cD、有a和b
解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x轴于两点，知a>0．设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x2<0知<0，所以c<0，又对称轴为x=4知－>0，故b<0．应当选(A)．
例2二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|<1000，如此c=．
解：由f(x)=ax2+bx+c，且f(19)=f(99)=1999，因此可设f(x)=a(x－19)(x－99)+1999，