圆锥曲线基本知识点总结.doc

文档介绍：圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆观点
平面内与两个定点
F
、
F2 的距离的和等于常数
2 a （大于
| F F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆
1
1
的焦点，两焦点的距离
2c 叫椭圆的焦距。若
M 为椭圆上随意一点，则有
|MF1 | |MF2 |
2a 。
椭圆的标准方程为：
x2
y2
1（ a
b
y2
x 2
1（ a
b 0
）（焦点在 y 轴
a2
b2
0 ）（焦点在 x 轴上）或
2
b 2
a
上）。
注：①以上方程中
a,b 的大小 a b
0 ，其中 b2
a2
c2 ；
②在 x2
y2
1 和 y2
x2
1 两个方程中都有 a
b
0 的条件，要分清焦点的位置，只要看
x2 和 y2
的分
a2
b2
a2
b2
母的大小。比如椭圆
x2
y2
1
（ m 0 ， n
0 ， m
n ）当 m n 时表示焦点在
x 轴上的椭圆；当 m
n 时
m
n
表示焦点在 y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
x2
y
2
1 知 | x | a ， | y | b ，说明椭圆位于直线 x
a ， y
b 所围成的矩形里；
a2
b
2
②对称性：在曲线方程里，若以y 代替 y 方程不变，所以若点
(x, y) 在曲线上时，点
(x, y) 也在曲线上，
所以曲线对于 x 轴对称，同理，以
x 代替 x 方程不变，则曲线对于
y 轴对称。若同时以
x 代替 x ， y 代替 y
方程也不变，则曲线对于原点对称。
所以，椭圆对于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心
叫椭圆的中心；
③极点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与

x 轴、

y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x 0 ，得

y

b ，则 B1(0, b) ，

B2

(0, b)

是椭圆与

y 轴的两个交点。同理令

y 0 得

x

a ，即

A1 (

a,0)

，
A2

(a,0)

是椭圆与

x 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的极点。
同时，线段

A1A2 、