文档介绍：第四节矩阵秩与向量组秩的关系 11 12 1 21 22 2 1 2 nn m m mn a a a a a a A m n a a a ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ????设 是的矩阵按行分块得到 12mA ???? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?????? 1 2 , , i i in a a a A i ???? i 其中是的第行构成的向量 i= 1,2, m 将该矩阵按列分块得到?? 1 2 n A ? ? ??? 12 jjj mj aaa ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??其中?? An?是的第j列构成的向量 j= 1,2, 称为 A的行向量组???? 1, mn ? ?? ??? 1,称为 A的列向量组定义 9矩阵 A的行向量组的秩成为 A 的行秩, A的列向量组的秩称为 A的列秩。矩阵 A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢? 先看一个例子 1 1 2 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 a b a b Bb ? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?此矩阵为具有 4个非零行的 B- 型矩阵?? 4 R B ?显然 B的列向量组 1 2 4 6 , , , ? ???线性无关,并且 3 1 1 2 2 5 1 1 2 2 3 3 a a b b b ? ??? ???? ?? ??故 1 2 4 6 , , , ? ???是B的列向量组的极大无关组。 B的列秩= B的秩= r 一般的,对有 r个非零行的 B-型阶梯型矩阵,有 B的列秩= B的秩= 4引理设矩阵 A经过行初等变换化为 B, 分别记为: 1 2 ( , ,..., ) n?A α α α?? 1 2 , ,..., n?B β β β之间有完全相同的线性关系,即则A的列向量组与 B的列向量组 1 1 2 2 ... α α α 0 n n x x x ? ???当且仅当 1 1 2 2 ... n n x x x ? ???βββ0证因为矩阵 A经过行初等变换化为 B,A的列向量组与 B的列向量组等价,也就是说齐次线性方程组 AX=0 与 BX=0 同解,即有相同的线性相关性。于是知列向量组 1 2 , ,..., nααα与 1 2 , ,..., nβββ 1 1 2 2 ... n n x x x ? ???βββ0同解 1 1 2 2 ... n n x x x ? ???ααα0与定理 5矩阵的秩等于它的行秩,也等于它的列秩。证设矩阵?? ij m n a ??A ( ) r r ?AB是与之对应的 B-型阵设A的r阶非零子式 0 r?D下证 A的列向量组的秩为 r rD所在的 r列构成的 m r ?矩阵为