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代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)
第一章习题答案
第一章代数基本观点
,对随意元素a,b有(ab)2=a2b2,则
为互换群.
证明:
对随意a,bG,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为互换群.
如果群G中,每个元素a都适合a2=e,则G为互换群.
证明:[方法1]
对随意a,bG,
ba=bae=ba(ab) 2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b 2(ab)=e(ab)=ab
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因此G为互换群.
[方法2]
对随意a,bG,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知 G为互换群.
设G是一非空的有限会合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:
a(bc)=(ab)c;
由ab=ac推出a=c;
由ac=bc推出a=b;
证明G在该乘法下成一群.
证明:[方法1]
设G={a1,a2, ,an},k是1,2, ,n中某一个
数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2, ,n), 有
akaiakaj------------<1>
aiakajak------------<2>
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再由乘法的关闭性可知
G={a1,a2,,an}={aka1,aka2,,akan}------------<3>
G={a1,a2,,an}={a1ak,a2ak,,anak}------------<4>
由<1>和<3>知对随意atG,存在amG,使得
akam=at.
由<2>和<4>知对随意atG,存在asG,使得
asak=at.
由下一题的结论可知 G在该乘法下成一
群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
[方法2]
为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只需证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
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为了表达方便可设 G={a1,a2, ,an}.
(Ⅰ)证明G内存在幺元.
<1>存在atG，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);
<2>证明a1at=ata1;
因为
a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2
a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,
故此
a1(ata1)at=a1(a1at)at.
由条件(1),(2)可得到
a1at=ata1.
<3>证明at就是G的幺元;
对随意akG,
a1(atak)=(a1at)ak=a1ak
由条件(2)可知
atak=ak.
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近似可证
akat=ak.
因此at就是G的幺元.
(Ⅱ)证明G内随意元素都可逆；
上面我们已经证明G内存在幺元，能够记幺元为e，为了方便可用a,b,c,，存在bG，使得
ab=ba=e.
<1> 对随意aG，存在bG，使得
ab=e;
(这一点很容易证明这里略过 .)
<2>证明ba=ab=e;
因为
a(ab)b=aeb=ab=e
a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e
再由条件(2),(3)知
ba=ab.
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因此G内随意元素都可逆.
由(Ⅰ),(Ⅱ)及条(1)件可知G在该乘法下成一群.
设G是非空会归并在G内定义一个乘法ab.
证明:如果乘法知足结合律,并且关于任一对
元素a,bG,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群.
证明：
取一元aG,因xa=a在G内有解,记一个解为ea,
bG,ax=b在G内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以
eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,
因此ea为G内的