文档介绍：简约而不简单前不久,笔者在翻阅几本高三二轮复习用书的过程中发现,不同的编者却不约而同地都选用了这样一道题:“设a∈R ,二次函数 f(x) =ax2-2x-2a ,若 f(x) >0 的解集为 A, B={x|1<x<3} ,A∩B≠? ?I ,求实数a 的取值范围。”初看此题,觉得条件简单直白,问题平淡无奇,但是为何编者们都对此题青睐有加, 并将其写入二轮复习用书中呢?笔者仔细研究了这道题,发现这道题确实有着丰富的内涵和生命力,耐人寻味,值得细细琢磨。初探集合运算是这道题的关键条件, 抓住“A∩B≠? ?I”作为解题的切入口。集合 B 已知, 故考虑先求出集合 A。对于不等式 ax2-2x-2a>0 (a≠0) 的解集,考查含参的一元二次不等式的解法,需要进行分类讨论。这样的解法朴实无华,回归集合运算的本质,通过解含参不等式,借助数轴比较区间端点的大小实现问题的解决。但是, 不难发现, 这种方法的求解过程中涉及无理不等式的求解, 对计算能力的要求较高, 学生易错。再探回到原题再看“ B={x|10 (a≠0)在a∈(1,3) 上有解, 也即存在 a ∈(1,3) ,使 ax2-2x-2a>0 成立。此解法没有停留在原有问题的表面,将集合 A,B 的交集不空转化为不等式在给定区间上有解的问题,为解决本题跨出了坚实有力的一步。但是,怎么看都觉得这个方法的解题过程略显繁杂,还有简化改进的空间吗? 三探既然解法二中已经将问题转化为不等式 ax2-2x-2a>0 (a≠0 )在 a∈(1,3) 上有解的问题, 何不顺藤摸瓜, 沿着这条线继续前行。对于一元二次不等式在给定区间上有解,借助二次函数的图像研究更为直观。问题到此似乎已经寻找到解决该题的最佳方法, 但是学生的思路又给这道题的解决开辟了更广阔的途径。学生的思路先考查 A∩B≠? ?I 时,实数 a 的取值范围。对于二次函数 f(x) =ax2-2x-2a , 方程 ax2-2x-2a=0 两根 x1x2=-2<0 , 函数有两个零点分别在 y 轴的两侧; 当 a>0 时,抛物线开口向上,此时若要求 A∩B≠? ?I ,只需 f(3) ≤0 即可,解之得: 0当 a<0 时,抛物线开口向下,此时若要求 A∩B ≠? ?I ,只需 f(1)≤0 即可,解之得: -2≤ a<0 ; 所以当 A∩B≠? ?I 时,实数 a 的取值范围是-2≤ a<0 或0。此解法从问题的另一个角