文档介绍：高中数学数列基本题型及解法
例2 .已知数列
⑴设数列|
an 中，Sn 是其前 n 项和，并且 Sn 1 4a0 2(n 1,2,L),a1 1,
⑵设数列
⑶求数列
bn
Cn
an
an 1 2an(n
茅（n 1,2,
的通项公式及前
1,2, ），求证：数列bn是等比数列;
），求证：数列cn是等差数列;
n项和。
分析：由于｛b口｝和仁n｝中的项都和｛an｝中的项有关，｛an｝中又有Sn1=4an+2,可由Sn2-Sn1作切入点
探索解题的途径.
解：（1）由 Sn 1=4an 2
据bn的构造，如何把该式表示成
二4an
；b
1 +2,两式相减，得 Sn 2 -S n 1 =4(a n 1-a n ),即 a n 2 =4an1 -4a
n 1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练
n.（根
an2-2an1=2(ani-2an),又bn=an1-2an,所以bni=2bn
已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3②
由①和②得，数列｛bn｝是首项为3,公比为2的等比数列，故bn=3•2n1
⑵因为、=:@£助所以叫
•2n-｝3
2m+1=4'
又"故数列［%〕是首项为j公差是;
1
=-ri--.
4
（3）因为,=板，又％=亍口・q・所以蓑二年一3，%=（3nJ）
,2哈,
当n>2时，Sn=4an1+2=2n1（3n-4）+2;当n=1时，S1=a1二1也适合上式.
综上可知，所求的求和公式为Sn=2n1（3n-4）+2.
说明：、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前
和。解决本题的关键在于由条件Sn14an2得出递推公式。
，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.
1一
｛an｝的前项的和Sn二—（an-1）（nN+）,（1）求a1；a2；（2）求证数列｛an｝为等比数列。
3
解：（I ）由S1
，、一 1 . .. 1 一
1)，得 a1 一(a1 1) a1 —又 S2
3 2
1， 八r
一（a2 1），即 a1
3
a2 *2
3
1),得
a2
(n )当 n>1 时，an
11
SnSn1"(an1)一⑶11),
33
ran111,j,,
得口--,所以an是首项一,公比为一的等比数列
an1222
、n 2 9n 40 n 6
例4、设ai=i
,a2=—,an+2=—an+1-
33
｛nan｝的前n项的和Sn。
2
—an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列｛bn｝的通项公式,3
(2)求数列
解：(I)因bn1an2
an1
2
3an
an1
…2一
故｛bn｝是公比为2的等比数列，且
3
bi
a2
bn守
(n1,2,)
(II)由bn
On得
an1a1
(an1
an)
(anan
(a2
ai)
记数列｛
Tn12|
两式相减得
(“
2[1
(3)n]
1,可得
n2n1
3n
3Tn
故Tn9[1
从而Sna1
2n,E(n
3
1,2,
｝的前n项和为
12T
Tn,
(2)n]
3
3
(守
3n(|)3
2a2
，a1
⑴求数列
⑵设
⑶设
解：(1)
由题意得
(手
/2、nn(二)
3
/2、n12、n
(-)n(-)
33
(3n)2n
Lnan3(1
8,a4
2且满足
an的通项公式;
Sn|a111a21
1
bn=
n(12
——(nNan)
,均有Tn
由题意，an
283d
3[1
(针]
2、n
n(-),
3
3n1
an2
|anL求Sn；
*
),Tnb1
b2
n)
2Tn
3n(n2
1)-18
2an
1an
bn(n
),是否存在最大的整数m,
使得对任
m成立？若存在，求出
m的值；若不存在,
请说明理由。
32
2an
d
an
(2)若102n0则n8
1an)
an8
5日t,Sn
｛an｝为等差数列，设公差为d,2(n1)102n.
a1a2L
10
2n
an
n6时，Sn
故Sn
’9n
a1
S5
2n
a2
(Sn
2
a5
n9n
a6a7
S5)2s5S