文档介绍：结论：
；
，但新的坐标系的位置是 各 向量相加的结果；
。
齐次变换矩阵－绕轴纯旋转的变换：
为了简化绕轴旋转的推导，首先假设该坐标系位于参考坐标系的原点。然后推广到其他的旋转以及旋转的组合。
P点为旋转坐标系上的一点
则：P点相对于参考坐标系的坐标为：
P点相对于运动坐标系的坐标为：
当坐标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。
旋转前，P点在两个坐标系中的坐标是相同的。
旋转后，该点的坐标 在旋转坐标系中保持不变，但在参考坐标系中 改变了。求P点在固定参考坐标系中的新坐标。
任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位方向的投影。
要求 可以先求 在X、Y、Z单位方向上的分
量，则：
齐次变换矩阵T 的意义：
，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示
∑O中的位姿，就用右乘的概念
绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换：
∑O´可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动φ角。
∑O´绕某轴r 的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动
，可作下述变换：
轴转α角，使r 轴处于XZ平面内
轴转-β角，使r 轴与OZ轴重合
轴转β角
轴转-α角
由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：
由上图容易求出：
可得：
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
1
0
0
0
3
2
1
t
wz
z
z
t
wy
y
y
t
wx
x
x
q
m
q
m
q
m
齐次交换矩阵的几何意义：
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
T
1
1
1
1
c
b
a
设T= ，有一个手爪，已知其在∑O的位置，设一个该坐标系∑O´，已
(
)
1
1
1
'
c
b
a
o
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1
0
0
0
p
p
p
T
z
y
y
y
x
x
x
z
z
z
y
x
w
w
w
q
m
q
m
q
m
知，，那么∑O´在∑O中的齐次坐标变换为，
如果手爪转了一个角度，则：
T反映了∑O´在∑O中的位置和姿态，即表