文档介绍：立体几何中向量方法
立体几何中向量方法
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立体几何中向量方法
利用向量方法求空间角
导学目标：
1.
掌握各样空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.
2.
掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和差别
.
3.
领会求空间角中的转变思想、数形联合思想，娴熟掌握平移方法、射影方法等
.
灵巧地运用各样方法求空间角．
自主梳理
1．两条异面直线的夹角
(1) 定义：设 a，b 是两条异面直线，在直线 a 上任取一点作直线 a′∥ b，则 a′与 a 的夹角叫做 a 与 b 的夹角．
范 围 ： 两 异 面 直 线 夹 角 θ 的 取 值 范 围 是
_______________________________________
．
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(3) 向量求法：设直线
a，b 的方向向量为
a， b，其夹角为
φ ，则有
cos
θ＝ ________
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＝______________.
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2．直线与平面的夹角
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定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．
范 围 ： 直 线 和 平 面 夹 角 θ 的 取 值 范 围 是
________________________________________ ．
向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为
θ， a 与 u 的夹角为 φ ，则有 sin θ ＝ __________ 或 cos θ ＝ sin φ .
3．二面角
二面角的取值范围是 ____________ ．
二面角的向量求法：
①若 AB、 CD分别是二面角 α — l — β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的
→ →
大小就是向量 AB与 CD的夹角 ( 如图① ) ．
②设
n
1， 2
分别是二面角 α—
— β 的两个面 α ，β的法向量， 则向量
n
1 与
2
的夹角 ( 或
n
l
n
其补角 ) 的大小就是二面角的平面角的大小
( 如图②③ ) ．
自我检测
1．已知两平面的法向量分别为
＝ (0,1,0)
， ＝ (0,1,1)
，则两平面所成的二面角为
m
n
()
A． 45°
B． 135°
C． 45°或 135°
D． 90°
2．若直线 l 1，l 2 的方向向量分别为
a＝ (2,4
，－ 4) ， b＝ ( －6,9,6) ，则 (
)
A． l ∥ l
2
B． l ⊥ l
2
1
1
C． l 1 与 l 2 订交但不垂直
D．以上均不正确
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3．若直线
l 的方向向量与平面 α的法向量的夹角等于
120°，则直线 l 与平面 α 所成
的角等于 (
)
A． 120°
B． 60°
C． 30°
D．以上均错
4． (2011 ·湛江月考 ) 二面角的棱上有
、
两点，直线
、
分别在这个二面角的两
A B
AC