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文档介绍：数字电路课件
代数系统简介
人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程，往往要借助于一些数学工具。这些现象或过程，就是我们的研究对象。描述时，需要建立适当的模型。从物理学角度考虑，就是建立该模型的运动方程（这通常由微分方程表述，反映的二元运算。 如果用“”表示二元运算f 时，
通常将 f(<x,y>)=z 写成 xy=z 。

有时用一个表来表示二元
运算的运算规律。
例如令E={a,b} P(E)上的∩
运算表如图所示。
∩
Φ
Φ
{a}
{a}
{a}
{a}
{a}
{b}
{b}
{b}
{b}
{b}
{a,b}
{a,b}
{a,b}
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
上 表 头 元 素
左表头元素
运算
从运算表除了可以看清运算的规律外，可以很容易地
看出运算的性质。
5-1 代数结构(系统)的概念
S R A L
S S R A L
R R A L S
A A L S R
L L S R A

再如令X={S,R,A,L}其中
S表示开始时的位置；
R表示“向右转”；
A表示“向后转”；
L表示“向左转”；
“”表示转动的复合运算；
其运算表如图所示。
5-1 代数结构(系统)的概念

：X是非空集合，X上的m个运算f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X, f1,f2,…fm> ( m≥1)
注意：这m个运算f1,f2,…fm的元数可能各不相同,
比如f1是一元运算，f2是二元运算,…,fm是k元运算。
例如 <N,+,×>，<I, -,+,－,×>，<P(E), ~,∪,∩,>
： U=<X, f1,f2,…fm> 是个代数系统，如果X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。
例如上边的X={S,R,A,L}，<X，>是个有限代数系统。
3. 同类型代数系统：给定两个代数系统U=<X, f1,f2,…fm> ，V=<Y, g1,g2,…gm> 如对应的运算fi和 gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则称U与V是同类型代数系统。
例如<P(E)，~,∩,∪> <{T,F}， ,∧,∨>
5-1 代数结构(系统)的概念
5-2 运算及其性质
一般的二元运算的一些性质：
封闭性
交换律
结合律
分配律
吸收律
等幂律
特异元素：
单位元（幺元）
零元
逆元
5-2 运算及其性质
一般的二元运算的一些性质：
封闭性
交换律
结合律
分配律
吸收律
等幂律
封闭性
定义 5- 设*是定义在A上的二元运算，若x，y∈A，有x*y∈A，称*在A上是封闭的。
例如在N上加法+和乘法×封闭，而减法不封闭。
从运算表可以很容易看出运算是否封闭。
封闭性
P178 例题1：设A={x｜x=2n，n∈N}， 问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？
解：对于任意的2r，2s ∈A，r,s ∈N，
因为2r‧2s = 2r+s ∈A
所以乘法运算是封闭的。
因为2，22 ∈A，但2+22=6A，
所以对于加法运算是不封闭的。
交换律
定义 5- 设*是定义在A上的二元运算，若x，y∈A，有x*y=y*x，称*满足交换律。（ *是可交换的）
大家都知道：加法、乘法、交、并、对称差是可交换的。
交换律
从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。
∩
Φ
Φ
{a}
{a}
{a}
{a}
{a}
{b}
{b}
{b}
{b}
{b}
{a,b}
{a,b}
{a,b}
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
S R A L
S S R A L
R R A L S
A A L S R
L L S R A

交换律
P179例题2：设Q是有理数集，是Q上的二元运算，对于任意的a,b ∈Q，a  b=a+b-ab ，问是否可交换？
解：因为a  b=a+b-ab =b+a-ba= b  a
所以是可交换的。
结合律
定义 5- 设*是定义在A上的二元运算，若  x，y，z∈A，有x*（y*z）=（x*y）*z，则称