文档介绍：高 等 数 学 上 册
第一章 函数与极限
（一） 函数
1 、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2 、 反函数、复合函数、函数的运算；
3 、 初等函数：幂函数、指数函y f ( x0 ) x f ( x0 )dx
第三章 微分中值定理与导数的应用
（一） 中值定理
1 、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足：
1） f ( x)
C[ a,b] ；
2 ） f ( x)
D(a,b) ；
3 ）
f (a) f (b) ；
则
(a, b), 使f
() 0.
、
、
）
Lagrange
中值定理：若函数 f ( x) 满足：
1） f ( x)
C[ a,b] ； 2 ） f ( x)
D(a,b) ；
则
(a, b), 使 f (b)
f (a)
f ( )(b a) .
Cauchy 中值定理：若函数
f ( x), F ( x) 满足：
f ( x), F ( x) C[a, b] ； 2 ） f ( x), F ( x) D (a, b) ；3 ）
F ( x)
0, x (a, b)
则
(a,b), 使 f (b)
f (a)
f (
)
F (b)
F (a)
F (
)
（二） 洛必达法则
（三） Taylor 公式
n 阶 Taylor 公式：
在 x0 与 x 之间 .
当 x0 0 时，成为 n 阶麦克劳林公式：
在 0 与 x 之间 .
常见函数的麦克劳林公式：
1 ） ex
1 x
1 x2
1 xn
e
xn 1
2!
n!
(n
1)!
在 0 与 x 之间， x ；
）
sin x x
x3
x5
x7
( 1) m 1 x2 m 1sin
(2m 1)
2 x2 m 1
3!
5!
7!
( 2m 1)!
(2m 1)!
在 0 与 x 之间， x ；
）
x2
x4
x6
( 1) m 1x2 m 2
cos
2m
cosx 1
2 x2m
2!
4!
6!
(2m 2)!
(2m)!
在 0
与 x 之间，
x
；
4 ） ln(1
x)
x
x2
x3
x4
(
1)n 1 xn
( 1) n xn 1
n 1
2
3
4
n
( n 1)(1
)
在 0
与 x 之间，
1
x 1
5 ）
(1 x)
1
x
(
1) x2
(
1)(
2) x3
(
1)
(n 1) xn
2!
3!
n!
(
1) (
n)(1 ) n 1
xn 1
，
(n
1)!
在 0 与 x 之间， 1
x 1 .
（四） 单调性及极值
1 、单调性判别法： f ( x) C[a, b] ， f ( x) D(a,b) ，则若
f ( x) 0 ，则 f (x) 单调增加；则若 f (x) 0 ，则 f (x)
单调减少。
2 、极值及其判定定理：
a)
必要条件： f (x) 在 x0 可导，若 x0 为 f (x) 的极值点，则
f (x0 ) 0 .
b)
第一充分条件： f ( x) 在 x0 的邻域内可导，且 f ( x0 )
0 ，
则①若当 xx0 时， f (x)
0 ，当 x x0 时， f (x)
0 ，
则 x0 为极大值点；②若当 x
x0 时， f (x) 0 ，当 x
x0
时， f (x) 0 ，则 x0 为极小值点；③若在 x0 的两侧 f ( x) 不变号，则 x0 不是极值点。
c) 第二充分条件： f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0 )
0 ，
f ( x0 ) 0，则