文档介绍：第1届IMO
求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出 x的实数解：
(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2XY的中点的轨迹。
解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。
在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。
求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
第5届IMO
找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：
(x2-p)+2√(x2-1)=x.
给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。
在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是
a>=a
2
>=...>=a
n，
1
求证：所有边长都相等。
4.
设y是一个参数，试找出方程组
xi+xi+2=yxi+1(i=1,...,5)的所有解x1,...,
x。
5
5.
求证
cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.
五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实
际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如， C、D
两位同学名次不是 (1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是
DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不
同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何
第6届IMO
1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n-1 能被7整除；
(b) 求证不存在正整数 n 使得2n+1 能被7 整除。
假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：
a2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)<=3abc.
三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这
四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。
十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

，分别过A、B、C作DD0
的平行线，这些线分别交平面
BCD、CAD、
ABD于点A、B、C，求证：ABCD的体积是ABCD
的三分之一；再问如果
D
0
为三角形ABC
0
0
0
0
0
0
0
内的任意一点，结果是否仍然成立
第7届IMO
1. 试找出所有位于区间 [0,2pi] 的x使其满足
2cosx ≤| √(1+sin2x) - √(1 -sin2x)| ≤√2.
2. 如下方程组的系数 aij ，
a11x1+a
a21x1+a
a31x1+a

12x2+a13x3=0
22x2+a 23x3=0
32x2+a 33x3=0
满足：
a11、a22、a33是正数，其余是负数；
每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解 x1=x2=x3=0。
3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到 AB边的距离
是该平面到 CD边距离的k倍。试求出这两部分的体积比。
四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。
三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形
OAB内部移动是 H的轨迹又是什么
平面上给定了n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定
义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有 n条。