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文档介绍：§ 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
有向弧段的值、
弧微分公式
曲率、
曲率的计算公式
曲率圆曲率半径
一、弧微分
s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0,相反时s<0.
有向弧段的值 s(简称为弧s) :
M
M0
(
x
y
O
M0
x0
M
x
s>0
x
y
O
M0
x0
M
x
s<0
显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函
数.
设x , x+ Dx 为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线
yf(x)上的对应点为M,M,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增
量为Ds,于是
下面来求s(x)的导数及微分.
M0
M
M 
x0
x
x+Dx
Dx
Dy
x
y
O
Ds
1,
因为
因此
由于ss(x)是单调增加函数,从而
于是 ds 
这就是弧微分公式.
) j
M1
M2
N1
N2
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系:
二、曲率及其计算公式
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均
弯曲程度,
M0
M
M 
Ds
Da
x
y
O
a+Da
)
a
)
s
C
设曲线C是光滑的,曲线
线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ,切线的转角为Da .
平均曲率:
曲率:
曲率的计算公式:
设曲线的直角坐标方程是yf(x),且f(x)具有二阶导数.
于是
从而,有
因为tan a y ,所以
例1 计算等双曲线x y 1在点(1,1)处的曲率.
解
因此,y|x11,y|x12.
曲线x y 1在点(1,1)处的曲率为
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大?
解由yax2bxc,得 y2axb ,y2a ,
代入曲率公式,得
要使K 最大,只须2axb0,
,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为
K|2a| .
对应的点为

给出,那么曲率如何计算?
?
讨论:
提示:设直线方程为y=ax+b,则y=a, y=
提示:
.