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高等代数线性代数.ppt

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文档介绍:高等代数线性代数

第一页,本课件共有34页

一、多项式函数与根
1. 多项式函数


将  的表示式里的 用 代替,得到P中的数
称为当   时   的值,记作
这样,对P中的每一个数 ,由多项式   确定P
使

第八页,本课件共有34页
证:设
若 即
时,由因式分解及唯一性定理,
可分解成不可约多项式的乘积,
由推论, 的根的个数等于 分解式中
一次因式的个数,重根按重数计算,且此数
此时对 有
即 有0个根.
定理8

第九页,本课件共有34页
证:令 则有
由定理8,若 的话,则
矛盾.
所以,
即 有
个根,

定理9

第十页,本课件共有34页
解:
例2 求 t 值,使
有重根.
第十一页,本课件共有34页



此时,  有重根,
为   的三重根.



此时,  有重根,
为   的二重根.
第十二页,本课件共有34页
例3 举例说明下面命题是不对的.
解:令   则

是 的2重根,
不是 的根,从而不是 的3重根.
第十三页,本课件共有34页
例4  若  求
解:
从而,1为 的根.
于是有,
1为
的重根,
第十四页,本课件共有34页
第十五页,本课件共有34页
一、复系数多项式
二、实系数多项式
§1.8 复系数与实系数
多项式的因式分解
第十六页,本课件共有34页

1. 代数基本定理
一、复系数多项式
若 则 在复数域
上必有一根.
推论1


则存在
使
即,
在复数域上必有一个一次因式.
第十七页,本课件共有34页
推论2

复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即
则   可约.

2. 复系数多项式因式分解定理
若 则 在复数域
上可唯一分解成一次因式的乘积.
第十八页,本课件共有34页
推论1

推论2

若 则 在
其中 是不同的复数,
上具有标准分解式
复根(重根按重数计算).
若 ,则 有n个
第十九页,本课件共有34页

二、实系数多项式
命题:若 是实系数多项式 的复根,则

的共轭复数 也是 的复根.
若 为根,则
两边取共轭有
∴ 也是为 复根.
证:

第二十页,本课件共有34页

实系数多项式因式分解定理
,若 , 则 可唯一

地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
证:对 的次数作数学归纳.
① 时,结论显然成立.
② 假设对次数<n的多项式结论成立.
设 ,由代数基本定理, 有一复根 .
若 为实数, 则 ,其中
第二十一页,本课件共有34页
若 不为实数,则 也是 的复根,于是
设 ,则
即在R上     是 一个二次不可约多项式.
从而
由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积.
由归纳原理,定理得证.
第二十二页,本课件共有34页

在R上具有标准分解式
推论1
其中
且   ,即 为
R上的不可约多项式.
第二十三页,本课件共有34页

推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二
例1 求 在 上与在 上的标准分解式.
1) 在复数范围内 有n个复根,
次不可约多项式,所有次数≥3的多项式皆可约.
解:
第二十四页,本课件共

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上传人:文库新人 2022/1/17 文件大小:2.09 MB

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