文档介绍：高等代数线性代数
第一页，本课件共有34页
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
设
数
将　　的表示式里的　用　代替，得到P中的数
称为当　　　时　　的值，记作
这样，对P中的每一个数　，由多项式　　确定P
使
则
第八页，本课件共有34页
证：设
若即
时，由因式分解及唯一性定理，
可分解成不可约多项式的乘积，
由推论，的根的个数等于分解式中
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数
此时对有
即有0个根.
定理8
第九页，本课件共有34页
证：令则有
由定理８，若的话，则
矛盾．
所以，
即有
个根，
即
定理9
第十页，本课件共有34页
解：
例2　求 t 值，使
有重根．
第十一页，本课件共有34页
若
即
则
此时，　　有重根，
为　　的三重根．
若
即
则
此时，　　有重根，
为　　的二重根．
第十二页，本课件共有34页
例3　举例说明下面命题是不对的．
解：令　则
但
是的2重根，
不是的根，从而不是的3重根．
第十三页，本课件共有34页
例4　若　求
解：
从而，1为的根．
于是有，
1为
的重根，
第十四页，本课件共有34页
第十五页，本课件共有34页
一、复系数多项式
二、实系数多项式
§ 复系数与实系数
多项式的因式分解
第十六页，本课件共有34页
1. 代数基本定理
一、复系数多项式
若则在复数域
上必有一根．
推论1
若
则存在
使
即，
在复数域上必有一个一次因式．
第十七页，本课件共有34页
推论2
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即
则　　可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
若则在复数域
上可唯一分解成一次因式的乘积．
第十八页，本课件共有34页
推论1
推论2
若则在
其中是不同的复数，
上具有标准分解式
复根（重根按重数计算）．
若，则有n个
第十九页，本课件共有34页
二、实系数多项式
命题：若是实系数多项式的复根，则
的共轭复数也是的复根．
若为根，则
两边取共轭有
∴ 也是为复根．
证：
设
第二十页，本课件共有34页
实系数多项式因式分解定理
，若，则可唯一
地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
证：对的次数作数学归纳．
① 时，结论显然成立.
② 假设对次数<n的多项式结论成立．
设，由代数基本定理, 有一复根．
若为实数, 则，其中
第二十一页，本课件共有34页
若不为实数，则也是的复根，于是
设，则
即在R上　　　　是一个二次不可约多项式．
从而
由归纳假设、可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积．
由归纳原理，定理得证．
第二十二页，本课件共有34页
在R上具有标准分解式
推论1
其中
且　，即为
R上的不可约多项式.
第二十三页，本课件共有34页
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二
例1　求在上与在上的标准分解式.
1)　在复数范围内有n个复根，
次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
解：
第二十四页，本课件共