文档介绍：二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿–莱布尼兹公式
一、引例
第四节
微积分的基本公式
第六章
1
在上一节我们已经看到,直接用定义计算定积分是十分麻烦的,因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系,从而可以利用不定积分来计算定积分。
2
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
变速直线运动中路程为
另一方面这段路程可表示为
一、问题的提出
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考察定积分
记
变上限积分函数
或积分上限函数
二、变上限积分函数及其导数
y
a
0
x
x
y= f(x)
Φ(x)
b
4
变上限积分函数的性质:
证
5
由积分中值定理得
6
注1.
此定理表明连续函数取变上限定积分再对
上限自变量 x求导,其结果就等于被积
函数在上限自变量x处的函数值。
若上限不是x而是x的函数a(x),则求导时必须按复合函数的求导法则进行,即:
定理证明了连续函数的原函数是存在的.
同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路.
2.
3.
若上限不是x而是常数,下限是x的函数变限函数,则求导时必须先换限,即:
4.
7
一般情况
5.
0
8
例1 求
[分析]:这是型不定式,应用洛必达法则.
解
9
例2.
确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式=
c ≠0 , 故
~
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