文档介绍：第三章 自适应数字滤波器
引言
自适应横向滤波器
自适应格型滤波器
最小二乘自适应滤波
自适应滤波的应用
引 言
自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，)
我们知道，在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时， 其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果， 当权矢量取最佳值时，梯度为0，按照()式：
例 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 ，图中输入信号与期望信号分别为
这两个信号都是周期性确定性信号， 因为任何正弦函数积的期望值，都可由这个积在一个或多个周期上作时间平均来计算， 可以推导出下面公式［6］:
图 两个权的自适应滤波器
上式表明性能函数E［ej2］对权函数是二次型的，用()式求梯度向量，得到
求最佳权矢量可以用()式，通过对Rxx求逆得到，也可以通过上式，令 ，而求出：
用()式求最小均方误差：
上式说明只要N＞2,不管N取多少，通过对权系数的调整可使均方误差达到0，此时输出信号yj完全等于期望信号dj, 例如N=2， 按照上面公式，可以求出输入、输出信号以及最佳权系数如下：
性能函数表示式及其几何意义
在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数， 前面已推导出性能函数用()式表示，重写如下：
下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。
均方误差是权系数的二次函数，当权系数取最佳值时， 均方误差取最小值，将()式代入()式，可以用最小均方误差表示性能函数，推导如下：
为了表示方便，令 ζ=E［e2j］, 则
将()式代入上式，得到
()
令
V=W-W*=［v1, v2, …, vN］T
()
V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性能函数可以表示得更简单：
()
因为Rxx是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特征向量再进一步简化，假设Rxx是N×N维，它的N个特征值为： λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得到
Rxx=QTΛQ,Λ=QTRxxQ
()
通过调节使Q归一化，即
()
()
式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式：
()
()
Λ是由特征值组成的对角矩阵， 用下式表示：
()
将()式代入()式，得到
令
()
则
()
上式将性能函数变成了平方和的形式。再观察()式， 该式将V坐标中的Rxx的特征向量变成了V′坐标中的单位向量。 利用()式将特征向量qi变成qi′，再利用()、 ()式， 可得
()
也就是说，qi′为V′坐标中的第i个单位向量，qi′亦是Λ矩阵对应于λi的特征向量。下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式：
图 二维权矢量性能表面
图 等均方误差的椭圆曲线族
按照()式，有
或
当c=ζmin时，对应椭圆的中心，V=W-W*, 则相当于W坐标平移到V坐标的原点，即V坐标的原点对应W坐标的最佳点W *。这里, v1v2不是椭圆的主轴。但经过对Rxx的分解：
且V′=QTV将性能函数的椭圆族(按照()式)变成
即
或者
()
显然，上式是一个椭圆方程，v1′和v2′是椭圆族的主轴，如果λ1＜λ2,则v1′是长轴，v2′是短轴。因此()式起坐标旋转的作用，将v1v2旋转到主轴上，形成v1′v2′主轴。对于维数N＞2的情况，长轴对应最小特征值，按照上面的椭圆方程长轴正比于 ；短轴对应于最大特征值，正比于 。另外， 因为
得到
()
V′中单位矢量就是V坐标中的Rxx的特征矢量。
最陡下降法
1. 最陡下降法的递推公式
将()式代入()式，得到
()
()
在上式两边都减去W *,并令Vj=W j-W*, 得到
Vj+1=［I-2μRxx］Vj
()
上式是一个递推公式，由于［·］项不是对角