文档介绍:基本不等式及其应用
a+b
1.基本不等式 ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件: a≥0,b≥0;
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+ y (m>0)
A. 2
B.2 2
C.3
D. 4
x 3
1 y
1 m 1
1 m 1
y mx 1
解析
由 2 -
=(2)
得 x+y=
3, x+ y
=3(x+y)(x+ y )=3(1+m+x+ y )≥
3(1+ m+2
m),(当且仅
y
mx
1
当 x= y 时取等号 ),∴3(1+ m+ 2
m)=3,解得 m=4
4
1
已知直线 ax+ by+c-1=0(b,c>0)经过圆 x2
+y2-2y-5=0 的圆心,则 b+c
的最小值是 ()
A. 9
B.8
C. 4
D.2
精选
解析
圆 x2+
y
2-
2y
- =
0
化成标准方程,得
x
2+ -
2= ,∴圆心为
C(0,1)
5
(y 1)
6
∵ 直线 ax+by+ c- 1= 0 经过圆心 C,∴ a× 0+ b× 1+ c-1=0,即 b+c= 1
4 1 4 1 4c b
b+ c= (b+c)(b+ c)= b + c+ 5
∵ b, c>0,∴
4c
b
4c b
4c
b
+
≥ 2
·= ,当且仅当
= 时等号成立.
b
c
b c
4
b
c
2
1
4
1
由此可得 b=2c,且 b+c=1,即 b=
3, c=3时, b+ c取得最小值 9
已知各项均为正数的等比数列 { an
满足
7=
6+
5,若存在两项
m, n
使得
m n =
1
,则 1+
4的
}
a a
2a
a a
a a
4a
m
n
最小值为 (
)
3
5
9
25
A. 2
D. 6
解析 由各项均为正数的等比数列 { an
满足
a
7= 6
+
5,可得
1
6=15+
1
4,
}
a
2a
a q
a q
2a q
∴ q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=- 1(舍去 )
aman=4a1,∴ qm+n-2=16, ∴2m+n-2=24, ∴m+n=6
1 4 1
1 4 1
n 4m 1
n 4m 3
∴ m+n=6(m+n)(m+n)=6(5
+ m+ n )≥6(5+2
m·n )=2
n
4m
1 4
3
当且仅当 m= n 时,等号成立,故 m+n的最小值等于 2
在等差数列 { an
中,
n ,且 1
2
10
5
6
的最大值是
(
)
}
a >0
a
+ a
+ + a = 30,则 a a
A. 3
B. 6
C.9
D.36
解析 ∵a1 +
2 ++
10=,∴
1
+
10 =
30
,即
1
10
5
6
5
6
5 6
,
a
a
30
5(a
a )
a
+ a
= a
+ a
= 6 , ∵a
+ a ≥2
a a
∴ 6≥ 2 a5 6,即
5
6≤ ,当且仅当
5= 6
时取等号, ∴
5 6 的最大值为
9