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某某市高三二轮会材料
函数导数中的恒成立问题解题技巧
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文案大当且仅当
因此，的取值X围为．
【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值X围问题、单调性问题、最值问题中表现较明显，同时方程的根与函数零点也可转化为交点问题解决.
三、别离参数解决恒成立问题
例3 函数，
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)假如在上恒成立，求的取值X围．
【方法指导】〔1〕通过判断导数的符号解决；〔2〕由于参数是“孤立〞的，可以别离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．
解：(1)由题意：的定义域为，且．
，故在上是单调递增函数．
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(2)
令，
在上是减函数，，即，
在上也是减函数，．
令得，
∴当在恒成立时，的取值X围是．
【方法点评】别离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，别离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值X围.
四、利用两个函数的最值解决恒成立问题
例4 [2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，如此g′(x)＝1＋ln x，
所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.
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故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，如此h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
因为gmin(x)＝＝h(1)＝hmax(x)，
所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
五、不等式中的恒成立问题
例5 (2016•某某).
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明对于任意的恒成立．
解：(1)的定义域为，
当时，假如，如此单调递增，
假如，如此单调递减．
当时，.
(i)当时，.
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当或时，单调递增．
当时，单调递减．
(ii)当时，，在区间内，单调递增．
(iii)当时，.当或时，单调递增，当时，单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在〔0，〕上单调递增，在〔，1〕上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知，当时，
，
设，如此．
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由，可得，当且仅当时取得等号．
，如此在上单调递减．
因为，
所以，使得当时，，时，.
所以h(x)在上单调递增，在上单调递减．
由，可得，
当且仅当时取得等号．
所以，
即对于任意的成立．
六、利用恒成立问题求参数的取值X围
例6 (2015·)函数 。
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， ；
(3)设实数k使得 对 恒成立，求k的最大值。
解：(1) ，所以切线方程为
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(2)原命题造价于任意，
设函数，
。
当时，，函数在上是单调递增函数。，因此任意。
(3)由(2)知，当时，f(x)>k对x∈(0，1)恒成立．
当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，如此
h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝.
所以当0<x<时，h′(x)<0，因此h(x)在区间上单调递减．
故当0<x<时，h(x)<h(0)＝0，即f(x)<k.
所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0，1)恒成立．
综上可知，k的最大值为2.
【方法总结】研究不等式在区间上恒成立，求其中参数的取值X围问题，一般有两种方法：①直接转化为研究带参