数列求和7种方法(方法全,例子多).doc

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数列求和的根本方法和技巧〔配以相应的练****br/>一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂……………①
………………………………②〔设制错位〕
①－②得〔错位相减〕
∴
练****题1 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
答案：
练****题2 的前n项和为____
答案：
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求证：
证明： 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
〔反序〕
又由可得
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…………..……..②
①+②得 〔反序相加〕
∴
[例6] 求的值
解：设………….①
将①式右边反序得
…………..②〔反序〕
又因为
①+②得 〔反序相加〕
＝89
∴
题1 函数
〔1〕证明：；
〔2〕求的值.
解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以.
练****求值：
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四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假如将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
〔分组〕
当a＝1时，＝ 〔分组求和〕
当时，＝
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝〔分组〕
＝
＝〔分组求和〕
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：
〔1〕 〔2〕
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〔3〕 〔4〕
〔5〕
(6)
〔7〕
〔8〕
[例9] 求数列的前n项和.
解：设〔裂项〕
如此 〔裂项求和〕
＝
＝
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： 　 ∵
∴〔裂项〕
∴ 数列{bn}的前n项和
〔裂项求和〕
＝ ＝
[例11] 求证：
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解：设
∵〔裂项〕
∴〔裂项求和〕
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
练****题1.
答案：.
练****题2。 =
答案：