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线性代数****题及答案<br****题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n-1)…321； (4) 13…(2n-1)(2n)明：
【解】
今归纳假设
那么
所以，对于一切自然数k,都有
6. 已知，其中
求及.
【解】因为|P|= -1≠0,故由AP=PB,得
而
7. 设，求||.
解：由已知条件，的伴随矩阵为
又因为，所以有
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，且，
即
于是有 .
8. 已知线性变换
利用矩阵乘法求从到的线性变换.
【解】已知
从而由到的线性变换为
9. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.
【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,
所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB,
故也为对称阵.
10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.
【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.
则 AB=(AB)′=B′A′=BA,
反之，因AB=BA,则
(AB)′=B′A′=BA=AB,
所以，AB为对称阵.
11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：
(1) B2是对称矩阵.
(2) AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
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【证明】
因A′=A,B′= -B,故
(B2)′=B′·B′= -B·(-B)=B2;
(AB-BA)′=(AB)′-(BA)′=B′A′-A′B′
= -BA-A·(-B)=AB-BA;
(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= -BA+A·(-B)= -(AB+BA).
所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
12. 求及A=可交换的全体二阶矩阵.
【解】设及A可交换的方阵为,则由
得
由对应元素相等得c=0,d=a,即及A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.
13. 求及A=可交换的全体三阶矩阵.
【解】由于
A=E+,
而且由
可得
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由此又可得
所以
即及A可交换的一切方阵为其中为任意数.
14. 求下列矩阵的逆矩阵.
(1) ； (2) ；
(3)； (4) ；
(5) ； (6) ，
未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.
【解】
(1); (2) ;
(3); (4) ;
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(5) ; (6) .
15. 利用逆矩阵，解线性方程组
【解】因,而
故
16. 证明下列命题：
(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.
(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.
(3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)-1.
【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得
|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)
=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*
=(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *.
∵ |A|≠0,|B|≠0,
∴ (AB) *=B*A*.
(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,从而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.
于是
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A* (A-1) *=|A|A-1·|A|-1A=E,
所以
(A-1) *=(A*)-1.
(3) 因AA′=E，故A可逆且A-1=A′.
由(2)(A*)-1=(A-1) *,得
(A*)-1=(A′) *=(A*)′.
17. 已知线性变换
求从变量到变量的线性变换.
【解】已知
且|A|=1≠0,故A可逆，因而
所以从变量到变量的线性变换为
18. 解下列矩阵方程.
(1) ；
(2)；
(3) ；
(4) .
【解】(1) 令A=;B=.由于
故原方程的惟一解为
同理
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(2) X=; (3) X=; (4) X=
19. 若 (k为正整数)，证明：
【证明】作乘法
从而E-A可逆，且
－A－