例说借助导数证明函数不等式人教版.docx

文档介绍：例说借助导数证明函数不等式
用导数证明不等式是一种重要方法，其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式；而如何构造辅助函数是用导数方法证明不
等式的关键，下面举例说 ,1) 是增函数 .
f ( 1)
2
1
2
点评： . 若 f(x) ， g(x) 差函数为非单调其差有极大值或极小值，用导函数求其极大值、极小值，从而证明不等式。
二、根据题目自身特点构造函数
1、变形（代换、比商等）后再作差构造函数
例 3， 若 x
( 0,
), 求证
x
1 ＜ ln x 1 1
1
x
x
证明：令 1＋ 1
t, x
0， t
1, x
1 .
x
t -1
则原不等式
1－ 1
lnt
t -1，令 f(t) ＝ t－1－ lnt ， f‘ (t) ＞1－ 1
t
t
t (1,
),
f ' (t )
0,
f (t )在 t
(1,
)上为增函数。
f (t )
f (1)
0,
t
1
ln t.
令 g(t )
ln t 1
1, g ' (t )
1
1
t 1 ,
t
t
t 2
t 2
t
(1,
),
g
'
(
t
)
0,
g
( )在
t
(1,
)上为增函数。
t
g(t )
g(1)
0,
ln t
1
1 ,
t
1
x 1
1
x 1
ln
.
x
x
1
点评： (1)
代换作用：此题设代换
x
t 1,0
x
值代换为可取到的
t=1, 把原来要
研究函数在 x

实际上就是把原来取不到的 x=0
处的值，等价为研究函数在 t=1 处的值；
1
则 ln(1
1
1
1
x
1
(2) 若令 t
x
)
即为例 （21）之特例，想一想
ln
如何证？
x
x
x 1
x
2、用分离变量的思想构造函数
例 4．若
e,证明
＞
证明：原题等价于
ln
ln
,设 f ( x)
ln x ,
x
当 x
e时， f ' ( x)
1 ln x
0, 当 x
e时， f (x)单调递减，
x 2
ln
ln
.
＞