文档介绍：稳定性分析-
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Lyapunov稳定性定义
系统状态的运动及平衡状态
稳定性的定义
Lyapunov第一法
Lyapunov第二法
第三章控制系统的稳定性分析
*
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（3）不稳定
则平衡点是不稳定的。
无论取得多小，从球域出发的运动轨迹
都会越出球域，
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单摆是渐近稳定的例子。
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从上述定义看出，球域限制着初始状态的取值，球域规定了系统自由响应的边界。如果为有界，则称稳定。如果不仅有界而且有，收敛于原点，则称渐近稳定。
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§2 Lyapunov第一法
基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。
，只需解出特征方程的根即可作出稳定判断。
，则可以通过线性化处理，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
线性系统的稳定判据
线性定常系统，平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。
如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。
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线性定常系统 , 输出稳定的充要条件是其传递函数:
的极点全部位于s的左半平面。
例题4-1 设系统的状态方程为
解（1）有A阵的特征方程：
系统的状态不是渐近稳定的。
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（2）由系统的传递函数
传递函数s=-1位于s的左半平面，故系统输出稳定。
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非线性系统的稳定性
设系统的状态方程为，平衡状态；为与x同维的矢量函数，且对x具有联系的偏导数。
为讨论系统在处的稳定性，可以将非线性矢量函数在领域内展开成泰勒级数，有：
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在线性化的基础上，
1）如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态是渐近稳定的，而与R(x)无关。
2）如果A的特征值至少有一个具有正实部，在原非线性系统的平衡状态是不稳定的。
3) 如果A的特征值至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡位置的稳定性不能由A的特征值符号来确定，将取决于高价导数项R(x)
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例4-2 设系统状态方程为：
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§2 Lyapunov第二法
Lyapunov第二法（间接法）。基本思路是从能量的观点进行稳定性分析，如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移而逐渐衰减，到达平衡状态时，能量达到最小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的。
由于系统的复杂性和多样性，不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，Lyapunov定义了一个正定的标量函数V(x),作为虚构的广义能量函数，然后根据标量函数的导数的符号特征来判别系统的稳定性。
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二、函数的定号性
① 正定：仅当时，有时，
② 负定：仅当时，有时，
③ 正半定：时，
⑤ 不定：时，可正可负。
④ 负半定：时，
二次型函数：为实对称矩阵，是的权矩阵
函数的定号性：
其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。
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而P的定号性由Sylvester准则确定:
① P为正定的充要条件为：P的各阶主子式大于0，即：
② P为负定的充要条件为：P的各阶主子式负、正相间，
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③ P为正半定的充要条件为：P的各阶主子式为正或零，
即
④ P为负半定的充要条件为：P的各阶主子式满足负定
的条件，但其中可以有等于0的。
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