文档介绍：指数函数(1) 若指数函数 y=a x在[1, 2] 上的最大值减去最小值是 a2 ,则 a= __________ . 解若a>1 ,则 y=a x在[1, 2] 上是增函数,则当x=2 时, y max=a 2; 当x=1 时, y min=a. 由题知 a 2-a= a2 , 即2a 2-3a=0, 解得 a=0或a= 32 . 结合 a>1 ,得 a= 32 . 若0<a<1 ,则 y=a x在[1, 2] 上是减函数,则当x=2 时, y min=a 2; 当x=1 时, y max=a. 由题知 a-a 2= a2 , 即2a 2-a=0, 解得 a=0或a= 12 . 结合 0<a<1 ,得 a= 12 . 综上, a= 12 或 32 . (2) 函数 y=a x和y=(a- 1)x 2+1 在同一坐标系中的图象可能是()ABCDxO yxO yx O yx O y 2 .数学运用例1求函数 y=( 12 ) x 2-2x 的单调增区间和单调减区间. 解:令y=f(x)=( 12 ) x 2-2x,则函数 f(x) 可以看作函数 y=( 12 ) t与函数 t=x 2-2x 的复合函数. 因为 y=( 12 ) t在(-∞,+ ∞) 上是减函数, 函数 t=x 2-2x=(x- 1) 2-1在(-∞, 1] 上是单调减函数,在[1 ,+ ∞) 上单调增函数, 所以函数 f(x)=( 12 ) x 2-2x 的单调增区间是(-∞, 1] ;单调减区间是[1 ,+ ∞). 注: (1) 利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的. (2) 复合函数单调性的判定的结论:,直接使用,如果是解答题,必需使用函数单调性的定义进行证明. (3) 本题可进一步研究: 函数 f(x)=( 12 ) x 2-2x 的值域如何求? 由上面的结论可知: t=x 2-2x=(x- 1) 2-1≥-1, 所以 0<f(x)≤2 ,当且仅当 x=1 时, f(x)=2, 因此,函数 f(x)=( 12 ) x 2-2x 的值域为(0, 2]. 注意:必须注意 f(x)=( 12 ) x 2-2x>0. 例2 判断函数 f(x)=a x+a -x(a>0 ,且 a≠ 1) 的奇偶性,并证明之. 解函数 f(x) 的定义域是 R. 由于对定义域内任意 x ,都有 f(-x)=a -x+a x=f(x), 所以函数 f(x)=a x+a -x 是偶函数. 变式训练 1 :判断函数 f(x)=a x-a -x(a>0 ,且 a≠ 1) 的奇偶性. 变式训练 2 :判断函数 f(x)= (1-3 x) 23 x 的奇偶性. 变式训练 3 :判断 f(x)= a 2x +1 a x(a>0 ,且 a≠ 1) 的奇偶性. 例3 已知函数 f(x)= 3 x-13 x+1 . (1) 求函数的定义域; (2) 写出函数的值域; (3) 判断 f(x) 的奇偶性,并加以证明; (4) 判断 f(x) 的单调性,并加以证明. 解: (1) 因为对人任意 x∈R,3 x+1≠0, 所以函数 f(x) 的定义域是 R. (2) 因为 y=f(x)= 3 x-13 x+1 =1- 23 x+1 设t=3 x