文档介绍：第12章环与域
离散数学
江苏科技大学本科生课程
计算机教研室周塔
本章内容
环的定义与性质
整环与域
本章总结
作业
环的定义与性质
环的定义
环的运算性质
环的子代数和环同态
环的定义
设<R,+,·>是代数系统,+和·是二元运算。
如果满足以下条件:
(1) <R,+>构成交换群。
(2) <R,·>构成半群。
(3) ·运算关于+运算适合分配律。
则称<R,+,·>是一个环(ring)。
通常称+运算为环中的加法,· 运算为环中的乘法。
环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数Q,实数环R和复数环C。
(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环。
(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。
(4)设Zn={0,1,...,n-1}, 和分别表示模n的加法和乘法,则<Zn, , >构成环,称为模n的整数环。
环的运算约定
加法的单位元记作0。
乘法的单位元记作1。
对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x。
若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1。
针对环中的加法,
x-y表示x+(-y)。
nx表示x+x++x(n个x相加),即x的n次加法幂。
-xy表示xy的负元。
环的运算性质
设<R,+,·>是环,则
(1) a∈R,a0=0a=0
(2) a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab
(3) a,b,c∈R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca

(1) a∈R,a0=0a=0
a0
= a(0+0)
= a0+a0
由环中加法的消去律得 a0=0。
同理可证 0a=0。
(2) a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab
(-a)b+ab
= (-a+a)b
= 0b
ab+(-a)b = (a+(-a))b = 0b = 0
因此(-a)b是ab的负元。
由负元的唯一性可知(-a)b=-ab。
同理可证 a(-b)=-ab。
= 0
(3) a,b,c∈R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca
a(b-c)
=a(b+(-c))
=ab+a (-c)
=ab- ac

在环中计算(a+b)3,(a-b)2
解答(a+b)3
= (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b)
= a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
(a-b)2
= (a-b)(a-b)
= a2-ba-ab+b2
子环
设R是环,S是R的非空子集。若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环(subring) 。
若S是R的子环,且SR,则称S是R的真子环。
举例:
整数环Z,有理数环Q都是实数环R的真子环。
{0}和R也是实数环R的子环,称为平凡子环。