文档介绍：.
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解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中,C＝90°,AB＝c,AC＝b,BC＝a。
〔1三边之间的关系：a2＋b2＝c余弦定理判断三角形形状
例4．在△ABC中,若2cosBsinA＝sinC,则△ABC的形状一定是〔
答案：C
解析：2sinAcosB＝sinC =sin〔A＋B=sinAcosB+cosAsinB
∴sin〔A－B＝0,∴A＝B
另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向,通畅解题途径
题型5：三角形中求值问题
例5．的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π,得=－,所以有cos =sin。
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2<sin － >2+ ；
当sin = ,即A=时, cosA+2cos取得最大值为。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用
例6．〔2009XX卷文,理如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离〔,,
解:在△ABC中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC= 又∠BCD=180°－60°－60°=60°,
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故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,        在△ABC中,即AB=
因此,BD=
故B,。
点评：解三角形等内容提到高中来学****又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题伸展,但也不可太难,只要掌握基本知识、概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
三、思维总结
1．解斜三角形的常规思维方法是：
〔1已知两角和一边〔如A、B、C,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a、b；
〔2已知两边和夹角〔如a、b、c,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C = π,求另一角；
〔3已知两边和其中一边的对角〔如a、b、A,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况；
〔4已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = π,求角C。
2．三角学中的射影定理：在△ABC 中,,…
3．两内角与其正弦值：在△ABC 中,,…
4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合"三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解"。
三、课后跟踪训练
1.〔△的三个内角满足
,则△ 〔
〔A一定是锐角三角形. 〔B一定是直角三角形.
〔C一定是钝角三角形. <D>可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
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由余弦定理得,所以角C为钝角
2.〔2010天津理数7在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则A=< >
〔A 〔B 〔C 〔D
[答案]A
[解析]本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。
由正弦定理得
,
所以cosA==,所以A=300
[温馨提示]解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
3.〔,a=15,b=10,A=60°,则=
A － B C － D
[答案]D
[解析]根据正弦定理可得解得,又因为,则,故B为锐角,所以,故D正确.
4.〔,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°．由正弦定理知,,即．由知,,则,