文档介绍：积分
整个高数课本 , 我们一共学****了不定积分 , 定积分 , 重积分 ( 二重 , 三重 ), 曲线积分 ( 两类 ),
曲面积分 ( 两类 ). 在此 , 我们对积分总结 , 比较 , 以期同学们对积分有一个整体的认识 . y, z) dx Q(x, y, z)dy R( x, y, z)dy ( 三维 )
L
定义域 : 有向平面曲线弧 ( 二维 ) 或有向空间曲线弧 ( 三维 )
性质 : 见课本 P135
计算公式 :
P( x, y)dx Q( x, y)dy
b
(t)) (t ) Q(
(t ), (t)) ( t)] dt
[ P( (t ),
L
a
d
Q( x, f ( x)) f
( x)] dx
[ P( x, f (x))
c
注意 : 曲线积分化为定积分时 , 下限为起始点 , 上限为终点 .
积分技巧 : 二维曲线积分可以应用格林公式 ( 注意使用条件 ). 积分与路径无关 . 不能使用奇偶对称性 .
应用: 力做功 .
七、第一类曲面积分
1. 定义式 : f (x, y, z) dS
定义域 : 空间曲面
注意 : 空间曲面与坐标面重合或平行时, 即为二重积分 , 故二重积分时第一类曲面积分的特例 .
性质 : 见课本 : 与第一类曲线积分类似
特殊 : f 1 则
f (x, y, z)dS
S , S 表示曲线面积 .
4. 计算公式 :
f (x, y, z)dS
f (x, y, z( x, y)) 1 zx2
zy2 dxdy 类似可得在另两
Dxy
个曲面上的投影公式 .
注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标
, 曲面考虑使用球坐标 .
积分技巧 : 奇偶对称性 , 变量对称性 , 质心 .
几何应用 : 见上 3.
八、第二类曲面积分
1. 定义式 Pdydz Qdzdx Rdxdy
定义域 : 有向空间曲面
性质 : 见课本 P162
4. 计算公式 : R( x, y, z) dxdy R(x, y, z( x, y))dxdy , 类似可得另两个 .
xy
积分技巧 : 高斯公式 , 循环对称性 . 不能使用奇偶对称性 .
注 : 要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目, 使用时要注意曲面方向以与是否封闭 .
应用 : 求流量 , 磁通量等 .
奇偶对称性 :
定积分 : 若积分区间关于原点对称
,例如[
a, a]
a
f (x)dx
0
若 f (x) 关于 x 为奇函数 , 则
a
a
f (x)dx
2
a
若 f (x) 关于 x 为偶函数 , 则
f ( x) dx
a
0
二重积分 : 若积分区域 D 关于 y 轴对称 , 记 D1 为 x
0 的部分