文档介绍：
普通高中课程标准实验教科书—数学 ［人教版］
高三新数学第一轮复****教案（讲座4)—基本初等函数
一．课标要求
1．指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的顺序。
例2．已知，求的值。
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算
例3．计算
（1）；（2）;
（3）。
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=.
点评：这是一组很基本的对数运算的练****题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学****数学的基本功，通过这样的运算练****熟练掌握运算公式、法则，以及学****数式变换的各种技巧.
例4．设、、为正数，且满足
（1)求证：；
（2）若,,求、、的值。
证明:（1）左边
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵， ∴………………………………④
由③、④解得，,从而。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3：指数、对数方程
例5．设关于的方程R)，
（1)若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
解：（1）原方程为，
，
时方程有实数解；
（2)①当时，，∴方程有唯一解;
②当时，.
的解为；
令
的解为；
综合①、②，得
1）当时原方程有两解：；
2）当时,原方程有唯一解；
3）当时，原方程无解.
点评:具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学****不断积累经验。
例6．(2006辽宁 文13）方程的解为 。
解：考察对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。
点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。
题型4：指数函数的概念与性质
例7．设（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：C；,。
点评：利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值。
例8．已知试求函数f(x)的单调区间。
解：令，则x=，t∈R。
所以即，（x∈R）.
因为f(－x)=f(x），所以f(x)为偶函数,故只需讨论f（x）在[0，+∞)上的单调性。
任取,,且使,则
（1）当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞］上单调递增。
（2)当0〈a<1时,由，有，,所以,即f（x）在［0,+∞］上单调递增。
综合所述，[0，+∞］是f(x)的单调增区间，(－∞,0）是f(x）的单调区间。
点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分
两种情况来处理.
题型5：指数函数的图像与应用
例9．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0〈m≤1
解：，
画图象可知－1≤m〈0.
答案为B。
点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征.
例10．设函数的取值范围。
解:由于是增函数，等价于 ①
1)当时,，①式恒成立；
2)当时，，①式化为，即;
3）当时，，①式无解;
综上的取值范围是。
点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式）来处理。
题型6：对数函数的概念与性质
例11．(1）函数的定义域是( )
A． B． C． D．
（2）（2006湖北）设f（x）＝，则的定义域为（ ）
A． B．(－4,－1）（1，4）
C．（－2,－1）(1，2)