文档介绍：偶数阶幻方 4/9/2017 12:11:17 PM 第 1页(共 8页) 偶数阶幻方二阶幻方不存在。如果存在着二阶幻方,那么这个幻方的幻和为 1 2 3 4 52 ? ???。这表明这个幻方的四个角上的四个数 1, 2, 3, 4 ,只能是 1, 4 和 2, 3 分别占据两组对角线,但是在这种情况下行、列的和只能是 3, 7 或 4, 6 ,而不能是 5 。所以偶数阶幻方如果存在,只能是四阶以上。四阶幻方四阶幻方的幻和为 1 2 15 16 34 4 ? ?????。我们试着排一个四阶幻方。首先将 1, 2, ,15,16 ?这16 个数按自然顺序写入 4 4 ?方阵中,通过简单计算不难发现,两条对角线上的四个数之和都是 34 ,而各行各列上的四个数之和都不是 34 。我们来调整,因为两条对角线上的四个数之和都是 34 ,所以我们在调整的时候应当使对角线上的数不离开对角线。第一行 1 2 3 4 34 24 ? ?????, 第四行 13 14 15 16 34 24 ? ????, 如果将 1,16 对调,将 4,13 对调, 这样不仅第一行与第四行的四个数之和都是 34 , 第一列和第四列的四个数之和也都是 34 ,同样将 6,11 对调,将 7,10 对调,就调整好了第二、三行(列) 。对于四阶幻方,我们称和为 17 的两数为互补两数。因此,我们可以总结四阶幻方的排法: 首先将 1, 2, ,15,16 ?这16 个数按自然顺序写入 4 4 ?方阵中, 然后把对角线上的数都换成它的补数,即得。六阶幻方六阶幻方的幻和为图 1 1 23 4 56 7 8 9 10 1112 13 1415 16 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 偶数阶幻方 4/9/2017 12:11:17 PM 第 2页(共 8页) 1 2 35 36 111 6 ? ?????, 要排出一个六阶幻方,我们能借用四阶幻方的经验吗?如果我们将 1, 2, , 35, 36 ?像图 2 一样, 排成一个 6 6 ?方阵, 虽然也有两条对角线上六个数的和为 111 ,但是我们立即发现,无论怎么调整, 也得不出六阶幻方。所以要排出六阶幻方,我们必须另想办法。观察图 2 ,我们看到一个 6 6 ?方阵可以划分为四个 3 3 ?方阵, 如果我们把 1, 2, , 35, 36 ?平均分为四段,每一段排成一个三阶幻方,将这四个三阶幻方拼成一个 6 6 ?方阵,情形将如何呢? 第一段, 1, 2, 3, ,8, 9 ?用杨辉的方法(以下我们都用杨辉方法) ,排成幻方 A :?? 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A 幻和为 15 AH?; 第二段, 10,11, ,17,18 ?,排成幻方 B :?? 13 18 11 12 14 16 17 10 15 B 幻和为 42 BH?; 第三段, 19, 20, , 26, 27 ?,排成幻方 C :?? 22 27 20 21 23 25 26 19 24 C 幻和为 69 CH?; 第四段, 28, 29, , 35, 36 ?,排成幻方 D :?? 31 36