文档介绍：-
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立体几何中的向量方法
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长〔分
q
图一
用法向量解二面角首先要解决的问题就是：，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向.
对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角〔如图一〕，两个平面的法向量则应分别垂直于该平面角的两边. 易知，当同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为q . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向一样的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向〞的方向；否则称为“向外〞的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向〞，而另一个“向外〞.
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*
y
z
O
图二
对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴〔如z轴〕，通过前面的方法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与*Oy平面的关系，是自下而上穿过*Oy平面呢，还是自上而下穿过*，则与所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；假设是第二种情形，则与所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可．假设法向量与*Oy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zO*平面观察．
〔二〕用半平面的向量解二面角
由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面作两个向量〔如图〕，起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．
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考点3 空间直线与空间平面的向量形式
在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算到达求值、证明的目的．在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以到达求值、证明的目的．
1．空间直线：如果 l为经过点A且方向向量为的直线，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式，或对任一点O〔通常取坐标原点〕，有
这是空间直线的向量形式．
2．空间平面：空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在有序实数对s、t，使
或对空间任一定点O〔通常取坐标原点〕，有
这是空间平面的向量形式．
四、例题精析
【例题１】如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；
(Ⅱ)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的大小；
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A
B
C
D
S
E
F
【解析】〔1〕如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
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〔2〕不妨设，则．
平面AEFG与*轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1)，与y轴无交点，则法向量，在CD延长线上取点H，使DH＝AE，则DH∥AE，所以AH∥ED，由〔1〕可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG与*轴、y轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、H(0,－ ,0)、G(0,0,1)，则法向量，设二面角A－EF－D的大小为a ，则
，即二面角A－EF－D的大小为．
【例题２】 四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝＝1，M是PB的中点.
〔1〕求二面角C-AM-B的大小；
〔2〕求二面角A-MC-B的大小.
【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角C-AM-B而言，是平面AMB的法向量〔向〕，易知平面ACM符合“向外〞方向的法向量是自下而上穿过*Oy平面，所以与所夹的角是锐角. 对二面角A