文档介绍:第五节对面积曲面积分的计算法几何形体上的积分?? G f P dg ???, ; D f x y d ?????, , f x y z dv ??????, ; L f x y ds ???, , f x y z ds ??重积分对弧长的曲线积分??, , f x y z ?在上连续,当G为一光滑曲面,被积函数?有( , , ) f x y z dS ???曲面面积元素积分曲面??, , f x y z ?称为函数在曲面上的对面积的曲面积分(第一类曲面积分) ( , , ) f x y z dS ???计算对面积的曲面积分——化为二重积分??, , x y z ?在上变化? 曲面积分元素为 2 2 1 ( , ) ( , ) cos x y d ds z x y z x y d ???? ???第一型曲面积分化为二重积分的公式为 2 2 ( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , ) x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y d ??? ???? ??用切平面小块来代替,而 dA dSdAd?? cos ddA ???( , , ) f x y z dS ???如果曲面的方程由 x=x(y,z) 或 y=y(x,z) 给出, 也可类似地把第一型曲面积分化为 yoz 面或 xoz 面上的二重积分。????????????? 2 2 2 2 : , , , , , , 1 : , , , , , , 1 yz xz y z D x z D x x y z f x y z ds f x y z y z x x d y y x z f x y z ds f x y x z z y y d ????? ?? ??? ?? ?? ?? ??? ?? ??? ??? ??例1 计算,其中是球面被平面截出的顶部。 1dS z ??? 2 2 2 2 x y z a ? ???(0 ) z h h a ? ?? Ox y za aa h xyD ?解的方程为,它在 xoy 面上的投影区域 D为,的曲面面积元素为? 2 2 2 z a x y ? ?? 2 2 2 2 x y a h ? ??? 2 2 2 2 2 1 x y a dS z z d d a x y ? ?? ???? ?所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 111 2 [ ln( )] 2 ln 2 D D D a h a h dS zad a x y a x y a a d rdrd a x y a r r a a d dr a a r a a r h ??? ?? ? ????? ?? ? ??? ?? ? ?? ?????????? ??? ?(极坐标) = ?例2 计算,其中是三个坐标面和平面围成的四面体的整个边界曲面。 xyzdS ????? 1 x y z ? ?? x y z1 11 O xyD 解边界曲面由四块组成: ? 1 2 3 4 ?????????他们的表达式分别是 0, 0, 0, 1 x y z x y z ? ?????于是 1 2 3 4 S xyzd ? ????? ???? ????????由于在,,上均为零,