文档介绍：第 2 章 交换理论基础
教学大纲要求：
（1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。
（2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定
义、计算。
（3）掌握服务器利用度的概念、占用
2. 泊松分布
泊松（Poisson）分布可由二项分布取极限得到。
又设np=λ>0是常数，对于n=1,2······均成立，则对任一个非负整数 k 有:
上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足
*
泊松定理 设随机变量Xn(n=1,2, ···)服从二项分布，即
n
k
p
p
C
k
X
P
k
n
k
k
n
n
,
,
1
,
0
,
)
1
(
)
(
L
=
-
=
=
-
!
)
1
(
lim
k
e
p
p
C
k
k
n
k
k
n
l
l
-
-
n
¥
®
=
-
1
!
!
0
0
=
=
=
-
¥
=
-
¥
=
-
å
å
l
l
l
l
l
l
e
e
k
e
k
e
k
k
k
k
定义 设随机变量 X 可能的取值为k=0,1,2, ······，其概率函数为:
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)。
*
泊松分布
泊松分布只有一个参数λ，其数学期望，E(X)= λ，方差 D(X)=σ2= λ 。
由泊松定理知，当n很大而p很小且np=λ>0是常数时，二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布P(λ)的概率函数，即有：
!
k
e
q
p
C
k
k
n
k
k
n
l
l
-
-
»
L
,
2
,
1
,
0
!
)
(
=
=
=
-
k
k
e
k
X
P
k
l
l
例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来 描述。作为例子，考虑在[0,t]时间段内到达的呼叫次数N这一随机变量，它服从下式所示的泊松分布：
这里，数学期望E(N)=λt是[0,t]时间内到达的平均呼叫数，而λ就是单位时间内到达的平均呼叫数，称为到达率或呼叫强度。
*
L
,
2
,
1
,
0
!
)
(
)
(
=
=
=
-
k
e
k
t
k
N
P
t
k
l
l
泊松分布
例 某电话局的统计资料表明，该局平均每分钟到达12个呼叫。试按泊松分布计算，在一分钟内到达k个呼叫的概率（k=0,1,2.…）。
解 根据题意有λt =12，根据泊松分布公式，一分钟内到达k个呼叫的概率为：
计算结果示于右图。泊松分布由参数λ决定，其曲线是非对称的，随着λ增大，非对称性越不明显，但概率峰值下降。
*
泊松分布举例
)
2
,
1
,
0
(
!
12
)
(
12
L
=
=
=
-
k
e
k
k
N
P
k
2
4
k
6
8
10
12
14
16
18
20
0
.
02
0
.
04
0
.
06
0
.
08
0
.
10
0
.
12
0
P
(
k
)
3. 指数分布
定义 设随机变量 X 的概率密度函数为：
则称随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为X~e（λ），其中λ为常数。
*
0
0
0
)
(
>
£
î
í
ì
=
-
x
x
e
x
f
x
l
l
我们很容易求得指数分布的分布函数为：
0
0
1
0
)
(
>
£
î
í
ì
-
=
-
x
x
e
x
F
x
l
指数分布是一种连续型随机变量的概率分布，在交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数分布：
1）两个相邻呼叫的间隔时间；
2）电话呼叫的占用时长。
我们可以证明其服从指数分布，前面已经指出，在时间 t 内发生的呼叫数服从泊松分布，由其概率函数公式容易得到在时间 t 内没有发生呼叫的概率为：
• 关于两个相邻呼叫的间隔时间
*
指数分布
t
t
e
e
t
N
P
l
l
l
-
-
=
=
=
0
!
0
)
(
)
0
(
在时间 t 内没有发生呼叫，也就是相邻呼叫的间隔时间大于 t，如果