文档介绍：中国教育学会中学数学教学专业委员会2021年
全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每题7分，共35分）
（第1题图)
1．假设实数a，b，c在数轴上的位置如以下图，那么代数式可以化简为（ ）．
（A）2c-a 赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规那么是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛完毕后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，那么m的值为
.（精品文档请下载）
10．如图,四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC。 分别延长BA，CD，交点为E。 作BF⊥EC，并和EC的延长线交于点F。 假设AE = AO，BC = 6，那么CF的长为 。（精品文档请下载）
（第10题图)
三、解答题（共4题，每题20分，共80分)
11．二次函数,当时,恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．
12．如图，⊙O的直径为，⊙O 1过点，且和⊙O内切于点．为⊙O上的点，和⊙O 1交于点,且．点在上，且，BE的延长线和⊙O 1交于点,求证:△BOC∽△．（精品文档请下载）
（第12题图）
13．整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2021时，求a的最小值。
14．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且。
中国教育学会中学数学教学专业委员会2021年
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．C
解:由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且，
所以 ．
2．D
解：由题设知，，，所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为(3，2）.
注：利用正比例函数和反比例函数的图象和对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为(3，2)。（精品文档请下载）
3．D
解:由题设知，,所以这四个数据的平均数为
，
中位数为 ，
于是 .
4．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得
消去x得 （2y－7)n = y+4，
2n =。
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1,3，5，15,所以y的值只能为4,5，6，11．从而n的值分别为8,3,2,1；x的值分别为14，7，6，7．（精品文档请下载）
5．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1，2，3的有序数对有9个，8个,9个,10个,所以，因此最大．（精品文档请下载）
二、填空题
6．7＜x≤19
解:前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8,3（9x－8）－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.（精品文档请下载）
由得 27x－26≤487,
81x－80＞487。
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时,≤487 ≤487，故x的取值范围是
7＜x≤19．
7．8
解:连接DF，记正方形的边长为2。 由题设易知△∽△，所以
,
由此得，所以。
在Rt△ABF中,因为，所以
(第7题）
,
于是 .
由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，
.
于是 ，
，
。
又，所以.
因为，所以。
8．
解:根据题意，关于x的方程有
=k2－4≥0，
由此得 （k－3)2≤0．
又(k－3）2≥0，所以(k－3）2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=。 （精品文档请下载）
故==．
9．8
解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知
,
由此得0≤b≤43。
又 ,所以. 于是
0≤≤43,
87≤≤130，
由此得 ，或。
当时，；当时，，
，不合题设.
故．
(第10题)
10．
解：如图，连接AC,BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O
的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD，
所以 Rt△BC