概率论课件--3-3 协方差.pdf

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( ) ( ) ( ) 0.
因此 X 与Y 不相关. 证毕.
在例3 中已证明了X 与Y 不相关, 但是 X 与Y 的确存在
2
某种关系YX . 因此我们有理由问: 相关系数 XY 反映
的是 X 与Y 之间的什么“相关”关系呢? 其实相关系数  XY
刻画的是随机变量 X 与Y 之间线性相关程度的一个数量
指标, 对此有如下定理:
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
定理 设 XY 是随机变量X 与Y 的相关系数,
则有(1) ||1. XY 
(2) || XY  1的充分必要条件是 PY  aX b 1,
其中a 与b 为常数, 且 a  0 .
定理的证明超出教学大纲的要求, 以下仅就 X 与Y
存在线性关系时, 即当 YaXb  时加以说明.
此时 Cov(X ,YEXEXYEY ) [( ( ))( ( ))]
E[(XEXaXbEaXb ( ))(  ( ))]
E[(XEXaXbaEXb ( ))(  ( ) )]
aE[( X E ( X ))2 ]  aD ( X )
NORTH UNIVERSITY OF CHINA又 DY() DaX ( b ) aD2 ( X )
Cov(X ,Y ) aD() X a
所以  XY     1.
DX() DY () DX() aDX2 () ||a
由定理可知:|| XY 的值域为[0,1].
当 ||1 XY  时, (X ,Y) 的取值几乎成线性关系: YaXb  ;
当 ||1 XY  时, (X ,Y )的取值具有一定的线性关系.
|| XY 越接近１, (X ,Y) 取值的线性近似程度越高;
|| XY 越接近０,(X ,Y ) 取值的线性近似程度越低;
当  XY  0 时, (X ,Y ) 取值没有线性关系可言, 此时称
(X ,Y )不相关.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA 1
 ,1xy22 
例4 设(X,Y)的联合概率密度函数为 fxy,   
0, 其他
(1) 求 E(),(),(),(),Cov(,)XEYDXDY XY及 XY .
(2) 试判断 X 与 Y 是否不相关和是否相互独立？
 11x2 1
解: (1) E()Xxfxydxdy (,)  xdxdy =0.
 11x2 π
同理可得: E()Y  0.

DX() EX (22 ) E () X  E()X 2  x2 fxydydx(, )

2
11x 2π 1
1 2 1 32 1
 2 x ddyx rdrdcos    .
11x π π 00 4
1
同理可得: DY()