文档介绍：小波变换的实现技术
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Mallat算法
卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。
实际应用中的边界处理问题：
边界延拓方法
 零延拓
 周期延拓

While
End of While
While
End of While
分解算法
重构算法
注:
为
的相邻两项之间插入
个零后得到的滤波器。
在Matlab小波工具箱中对应的函数: swt() , iswt()
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小波变换的提升实现
概述
1) 能够用于构造第一代小波，用户可根据需要来设计小波基。
2)能够改进第一代小波变换算法。
3) 可用于构造第二代小波。
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小波分解与重构的多相位表示
滤波器的多相位表示
滤波器
的多相位表示为：
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小波分解与重构的多相位表示
滤波器的多相位矩阵
滤波器
的多相位矩阵为：
和
滤波器
的对偶多相位矩阵为：
和
则小波滤波器的完全重构条件等价于：
小波分解与重构的多相位表示
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Laurent多项式的Euclidean算法
=
的次数
两个Laurent多项式的带余除法可表述为：
或
两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：
从
开始进行如下的递归运算：
则
，且
是一个Laurent多项式，其中
为使
的最小数。
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Laurent多项式的Euclidean算法
如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互素的。
注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.
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多相位矩阵的因子分解
若
，则总存在Laurent多项式
和
以及非零常数
，使得
其中
。
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有限滤波器多相位矩阵的提升分解算法
第1步，使用欧几里德算法得到：
第2步，计算
=
第3步，计算
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基于提升的正向小波变换流程图
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时小波变换的提升实现算法
若
分别是序列
的z变换，且
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正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由奇序列预测偶序列开始）
Step 1. 懒小波变换
Step 2. 提升与对偶提升
For i =1 to m
Step 3. 比例变换
For
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时逆向小波变换的提升实现算法
Step
Step 2. 提升与对偶提升
For i = m to 1
Step 3. 逆懒小波变换
For
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时提升算法的实现
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时正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由偶序列预测奇序列开始）
Step 1. 懒小波变换
Step 2. 提升与对偶提升
For i =1 to n
Step 3. 比例变换
For
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两点说明

如果在实际计算时已知
的因子分解，设
则
2. 尚未完全解决的问题
多相位矩阵分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？如何求出所有的分解？如何根据具体的应用，选择一种‘好’的分解方法?
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（5-3）小波变换的提升实现
，
，
，
正变换
逆变换
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整数小波变换
提升算法的一大优点是，它存在整数提升算法，即在
忽略归一化因子的情况下，将算子
提升步骤中的算子
作用于每个
和
换的整数提升算法。
，即可得到小波变
如（5-3）小波变换的整数版本如下：
特点：非线性变换
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D4小波变换的提升实现
其中
第34页，本讲稿共45页
D4小波变换的提升实现
第一种实现方法
第二种实现方法
，
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（9-7）小波变换的提升实现