文档介绍：第四章第四章多分辨分析和多分辨分析和正交小波变换正交小波变换 1 1 如前所述,小波变换可以将时域信号分如前所述,小波变换可以将时域信号分解为若干子频段的时域分量之和,那么如解为若干子频段的时域分量之和,那么如何构造小波函数?本章将给出框架理论及何构造小波函数?本章将给出框架理论及多分辨率分析方法。多分辨率分析方法。 2 函数的多尺度逼近函数的多尺度逼近 1 1、若干基本概念、若干基本概念⑴⑴能量有限信号:满足能量有限信号:满足的信号的信号。。⑵⑵函数线性空间: 函数线性空间: 若若2 ( ) f t dt R ???2 ( ) RL 2 2 , ( ), , , ( ) ( ) ( ) ( ) f g R k R kf t g t wt R L L ? ?? ???? 3 3 ⑶⑶内积及其性质内积及其性质定义: 定义: 性质:交换性性质:交换性分配性分配性⑷⑷内积空间:满足内积定义和性质的函数线性空间。内积空间:满足内积定义和性质的函数线性空间。⑸⑸正交:对正交:对, ,若若,称二者正交。,称二者正交。⑹⑹向量的模: 向量的模: _ ( ( ), ( )) ( ) ( ) f t g t f t dt g t R ??( , ) ( , ) f g g f ? 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ), , f f g f g f g R ? ?????? ???( , ) 0, 0 ( , ) 0 f f f f f ? ??当且仅当时 2 , ( ) f g L R ? ?( ( ), ( )) 0 f t g t ? 2 1/ 2 0 ( ) ( ( ) ) R f t f t dt ?? 4 4 模可以理解成向量的长度,也可看成是向量之间距离。模可以理解成向量的长度,也可看成是向量之间距离。⑺⑺线性无关线性无关在在中,对于有限个函数向量中,对于有限个函数向量, , 若若当且仅当当且仅当时成立,称时成立,称线性无关。线性无关。三角不等式 000gfgf??? 2 2 2 2 0 0 0 0 2 f g f g f g ?+-=(+)(平行四边形对角线规则) 度规则) 不等式,内积和向量长( ( Shwarz gfgf 00),?2 ( ) L R 1 { ( )} nkkt?? 0, 1, 2, , k k n ?? ?? 1 { ( )} nkkt?? 1 ( ) 0 kt ???? nk k= 5 5 ⑻⑻基函数基函数在有限维空间中,选定有限个线性无关函数作在有限维空间中,选定有限个线性无关函数作为基底向量,空间中任意函数向量都可以由这为基底向量,空间中任意函数向量都可以由这些函数(基底)的线性组合来表示。将此推广些函数(基底)的线性组合来表示。将此推广到无穷维空间,则线性无关的函数族到无穷维空间,则线性无关的函数族可可构成构成的基底,其中任意函数均可由它们线的基底,其中任意函数均可由它们线性组合而成。因此: 性组合而成。因此: 1 { ( )} kkt??? 2 ( ) L R },2,1|)({)( 2???kt span RL k?)()()()( 2 1RLtftctf k kk??????? 6 6 ⑼⑼正交基函数正交基函数如果基函数族如果基函数族中的基函数是相互正交(或标中的基函数是相互正交(或标准正交)的,则称为正交基函数族(标准正交基)。准正交)的,则称为正交基函数族(标准正交基)。( ( 10 10 )正交子空间)正交子空间设设和和是是的两个子空间,若的两个子空间,若 1 { ( )} kkt??? nW mW 2 ( ) L R ( ) , ( ) , m n f t W g t W f t ? ???()和 g(t) 都是正交的 m n m n W W W W ?则称和是正交子空间, 7 7 2 2、、函数的多尺度逼近函数的多尺度逼近函数(模拟信号) 函数(模拟信号) 可用一串不同可用一串不同尺度j的函数序列尺度j的函数序列来逼近,这种方法称为来逼近,这种方法称为函数的多尺度逼近。函数的多尺度逼近。这种做法已经得到广泛的应用。最常用的做这种做法已经得到广泛的应用。最常用的做法是数据的采样分析。给定采样间隔基本单位, 法是数据