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;常见的有:分式的分母不为零,偶次方根的被开方数大于或等于零,对数的真
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4.(2010·广东)函数f(x)=lg(x-2)的定义域是________.
解析:由x-2>0得x>2.
答案:(2,+∞)
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,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=________.
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解析:由f(x)=x2+4x+3,得f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3
又f(ax+b)=x2+10x+24,
答案:2
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重点难点突破
题型一 求函数的解析式
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(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由f(0)=0,得c=0.
由f(x+1)=f(x)+x+1,
得a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+1.
即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.
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[点评] (1)求函数的解析式常用:代入法､换元法､拼凑法､待定系数法､消元法以及赋值法等.(2)在求函数的解析式时,一定要注意函数的定义域.
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答案:C
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题型二 求函数的定义域
【例2】求下列函数的定义域:
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[点评] (1)要使解析式f(x)有意义,一般注意以下问题:①分母不为0;②偶次方根被开方数非负;③对数的真数大于0,底数大于0且不为1;④tanx,cotx有意义的x的范围,每个式子均有意义,故f(x)的x取值应是各部分的交集.(2)对参数进行分类讨论,要确立分类标准,做到不重不漏.
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解析:∵ 的定义域为(0,+∞),结合选择支
可知答案为C.
答案:C
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【例3】 (1)已知f(x)的定义域为(0,2],求f(x2)的定义域;
(2)已知f(x2)的定义域为(0,2],求f(x)的定义域;
(3)已知f(x2)的定义域为(0,2],求f(2x)的定义域.
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[点评] 函数的定义域就是自变量x的取值范围,求复合函数的定义域,要把握住一点,内函数的值域等于外函数的定义域.
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变式3:已知f(x)的定义域为(0,2],则函数y=f(3x-2)+f(log2x)的定义域为________.
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题型三 已知函数的定义域,求字母的值或范围
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【例4】 (1)已知 的定义域为(-∞,1],求a的值;
(2)已知函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R,求a的取值范围.
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[解] (1)欲使原函数有意义,需1+3xa≥0,
又 的定义域为(-∞,1\],
∴1+3xa≥0的解集为(-∞,1\].
即:1+3xa=0的根为1,∴1+3a=0,a=-.
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(2)当a=-1时,函数化为y=lg1有意义,定义域为R.
当a=1时,函数化为y=lg(2x+1)显然不合题意.
当a≠1且a≠-1时,由题意得
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[点评] (1)当函数的定义域不是R时,已知函数的定义域,等于知道了使函数有意义的x的取值范围,这时常转化为不等式的解集问题,进而转化为方程根的问题.
(2)当函数的定义域为R,求字母的取值范围时要结合函数的图象去求解.
(3)对于最高次项系数带字母的问题,常常要分情况讨论.
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变式4:函数y=lg(x2+ax+1)的定义域为R,则实数a的取值范围是a∈________.
解析:由题意得Δ=a2-4<0,得-2<a<2.
答案:(-2,2)
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解题方法拾遗
求函数的解析式,要根据已知函数的特征､性质寻找最佳的解题方案.
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[点评