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第十讲导数
【考点***】
1．了解导数概念的某些实际背景〔如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等〕；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记根本导数公式；掌握两个．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[考查目的]此题主要考查函数的导数和函数图象性质等根底知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
应当选A.
例8 .设函数在与时取得极值．
〔Ⅰ〕求a、b的值；
〔Ⅱ〕假如对于任意的，都有成立，求c的取值X围．
思路启迪：利用函数在与时取得极值构造方程组求a、b的值．
解答过程：〔Ⅰ〕，
因为函数在与取得极值，如此有，．
即
解得，．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，
．
当时，；
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当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
如此当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值X围为．
.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数的定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．函数，其中为参数，且．
〔1〕当时，判断函数是否有极值；
〔2〕要使函数的极小值大于零，求参数的取值X围；
〔3〕假如对〔2〕中所求的取值X围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，某某数的取值X围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性与极值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力，以与分类讨论的数学思想方法.
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[解答过程]〔Ⅰ〕当时，，如此在内是增函数，故无极值.
〔Ⅱ〕，令，得.
由〔Ⅰ〕，只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号与的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号与的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
假如，，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值X围为.
〔III〕解：由〔II〕知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，如此a须满足不等式组
或
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由〔II〕，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值X围是.
例11．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]此题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由得函数的定义域为，且
〔1〕当时，函数在上单调递减，
〔2〕当时，由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，：
〔Ⅰ〕的值；
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〔Ⅱ〕的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等根底知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：〔Ⅰ〕由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
〔Ⅱ〕
由
得
解得
解法二：〔Ⅰ〕同解法一
〔Ⅱ〕设
又
所以
由即得
所以
例13．设是函数的一个极值点.
〔Ⅰ〕求与的关系式〔用表示〕，并求的单调区间；
〔Ⅱ〕设，.假如存在使得成立，求的取值X围.
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[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]〔Ⅰ〕f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a