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§2 方差、协方差与相关系数
 
一、方差
二、协方差
三、相关系数
四、矩
 
一、方差
例1                      比拟甲乙两人的射击技术，两人每次击中环数分布为方差
数学期望和方差反映了随机变量的分布特征. 对于随机向量, 除去各分量的期望和方差外，还有表示各分量间相互关系的数字特征——协方差.
定义2 记和的联合分布函数为.
假如，就称
(8)
为的协方差( covariance)，记作Cov().
显然， .公式(6)可改写为
Var()+2.
容易验证，协方差有如下性质：
性质1 Cov() = Cov().
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性质2 设是常数，如此
.
性质3.
对于n维随机向量ξ=，可写出它的协方差阵
,(9)
其中.
由性质1可知B是一个对称阵，且对任何实数,, 二次型
,
即随机向量ξ的协方差阵B是非负定的.
性质4 设
ξ= ,C=,
如此的协方差阵为，其中B是ξ的协方差阵.
因为，所以的第元素就是的第i元素与第j元素的协方差.
 
三、相关系数
协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的关系，但的取值大小与ξ,的量纲有关. 为防止这一点，用ξ,的标准化随机变量〔见例7〕来讨论.
定义3 称
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(10)
为ξ,的相关系数(correlation coefficient).
为了讨论相关系数的意义，先看一个重要的不等式.
柯西—许瓦茨(Cauchy—Schwarz)不等式 对任意随机变量ξ,有
. (11)
等式成立当且仅当存在常数使
. (12)
证 对任意实数
是的二次非负多项式，所以它的判别式
,
证得(11)式成立. (11)式中等式成立当且仅当多项式有重根，即
.
又由(3)
,
故得,同时有. 所以由方差的性质1就证得，此即 (12)式.
由此即可得相关系数的一个重要性质.
性质1 对相关系数有
.(13)
=1当且仅当
;
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=-1当且仅当
.(14)
证 由(11)式得
,
证得(13)式成立. 证明第二个结论. 由定义. 由柯西-许瓦兹不等式的证明可知, 等价于=有重根=因此由(12)式得当且仅当；当且仅当.
注 性质1明确相关系数时，ξ与以概率1存在着线性关系. 另一个极端是= 0，此时我们称ξ与不相关(uncorrected).
性质2 对随机变量ξ和, 如下事实等价：
(1) Cov(ξ,)=0;(2) ξ与不相关;
(3) ; (4) .
证 显然(1)与(2)等价. 又由协方差的性质1得(1)与(3)等价. 再由式，得(1)与(4)等价.
性质3 假如ξ与独立，如此ξ与不相关.
显然, 由ξ与η独立知(3)成立，从而ξ与不相关.
但其逆不真.
例8 设随机变量θ服从均匀分布U [0, ]，ξ=,,显然, 故ξ与不独立. 但
,
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,
,
故，即ξ与不相关.
注 性质2不能推广到个随机变量情形. 事实上从个随机变量两两不相关只能推得,不能推得. 反之，从这两个等式也不能推得两两不相关. 具体例子不列出了. 对于性质3, 在正态分布情形，独立与不相关是一致的，这将在下面进展讨论.
例9 设(ξ,)服从二元正态分布, 试求和.
解
,
令, , 如此,,
于是
=·
+
= 0+r.
故得
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.
这就是说二元正态分布中参数r就是ξ,的相关系数. 所以对二元正态分布，ξ、不相关等价于r = 0. 但在第二章已证ξ与相互独立等价于r = 0. 这样我们有
性质4 对二元正态分布，两个分量不相关与相互独立是等价的.
 
四、矩
矩(moment)是最广泛的一种数字特征，常用的矩有两种，一种是原点矩, 对正整数,
称为ξ的阶原点矩. 数学期望就是一阶原点矩.
另一种是中心矩, 对正整数，称
为ξ的阶中心矩. ，三阶与四阶中心矩也是常用的，它们分别表示随机变量的性状. 往往用他们的相对值. 称为偏态系数，当它大于0时为正偏态，小于0时如此为负偏态. 称为峰态系数，当它大于0时明确该分布密度比正态分布更为尖峭.
 
例10 设ξ为服从正态分布N ()的随机变量，此时，且
特别 .故不论σ为多少，正态分布的偏态系数与峰态系数都为0.
我们可以用原点矩来表示中心矩：