文档介绍：线性代数
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第一章 行列式
第二章 矩阵及其运算
第三章 矩阵的初等变换及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
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3 2 5 1 4
逆序数为3
1
故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.
例如: 排列32514 中,
计算排列逆序数的方法
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
方法1: 分别计算出排在1,2, ···, n 前面比它大的数码的个数并求和, 即先分别算出 1,2, ···, n 这 n 个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.
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方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
方法3: 依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
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例1: 求排列32514的逆序数.
解: 在排列32514中,
3排在首位, 则3的逆序为0;
2的前面比2大的数只有一个3, 故2的逆序为1;
3 2 5 1 4
没有比5大的数, 故其逆序为0;
个, 故其逆序为3;
4的前面比4大的数有1个, 故逆序为1.
5的前面
1的前面比1大的数有3
即
于是排列32514的逆序数为 t = 0+1+0+3+1 = 5.
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解:
此排列为偶排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性.
(1) 217986354.
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0
1
0
0
1
3
4
4
5
于是排列217986354的逆序数为:
t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.
(2) n(n–1)(n–2) ··· 21
解:
n (n–1) (n–2) ··· 2 1
0
1
2
(n–1)
(n–2)
t = 0+1+2+ ··· +(n–2)+(n–1)
于是排列n(n–1)(n–2) ··· 21的逆序数为:
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此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列.
(3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) ··· (k–1)(k +1)k.
(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· (k–1) (k+1) k
解:
0
1
2
1
2
3
3
(k–1)
(k–1)
k
t = 0+1+1+2+2+ ··· +(k–1)+(k–1)+k
于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) ··· (k–1)(k +1)k的逆序数为:
此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为奇排列.
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1. n个不同的元素的所有排列种数为n!个;
2. 排列具有奇偶性;
3. 计算排列逆序数常用的方法.
三、小结
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§ n 阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
说明(1) 三阶行列式共有6项, 即3!项.
说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.
说明(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).
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例如 a13a21a32, 将行下标标准排列, 列下标排列312的逆序数为
t (312)=1+1=2, 偶排列. a13a21a32 的前面取+号.
例如 a11a23a32, 将行下标标准排列, 列下标排列132的逆序数为
t (132)=0+1=1, 奇排列. a11a23a32的前面取–号.
其中Σ是对列下标的所有排列求和(3!项), t 是列下标排列 p1p2p3 的逆序数.
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二、n 阶行列式的定义
定义: 设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表
作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积, 并冠以符号(–1)t, 得到形如
其中 p1p2 ··· pn 为自然数1, 2, ··· , n 的一个排列, t为排列p1p2 ··· pn的逆序数.
的项,
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