文档介绍：最基础最全张量分析
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i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数
n—维数
数
变量
指标符号
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一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标本讲稿共85页
七、张量的缩并
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运算称为缩并
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八、指标置换
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张量同阶的新张量
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九、对称化和反对称化
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同, 则称该张量关于这两个指标为对称, 若与原张量相差一符号, 则称该张量关于这两个指标为反称。
有6个独立分量
有3个独立分量
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九、对称化和反对称化
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换, 并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。
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九、对称化和反对称化
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
反称化: 对已知张量的 N 个指标进行N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值, 这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。
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十、商法则
若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数 A(ijk), 且A(ijk)bk=Cij, 其中bk 是与A(ijk)无关的任意矢量 , Cij是张量 , 那么 , A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
用于判定某些量的张量性！
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§A-5 二阶张量（仿射量）
A 张量分析
B的作用如同一个算子, 它使空间内每一个向量变换为另一个向量, 或者说 B 能把一个向量空间映射为另一向量空间。
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§A-5 二阶张量（仿射量）
A 张量分析
一、仿射量的转置BT
对称张量
反对称张量
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§A-5 二阶张量（仿射量）
A 张量分析
一、仿射量的转置BT
α和b为任意向量
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A 张量分析
§A-5 二阶张量（仿射量）
一、仿射量的逆B-1
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A 张量分析
§A-5 二阶张量（仿射量）
三、对称仿射量的主向和主值
对于仿射量B, 若存在三个相互垂直的方向i,j,k, 其映象 B·i,B·j,B·k也相互垂直, 则称该三个方向为 B 的主向。对称仿射量T 必存在三个主向和三个相应的主值。主值S 满足如下特征方程。
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A 张量分析
§A-5 二阶张量（仿射量）
三、对称仿射量的主向和主值
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A 张量分析
§A-5 二阶张量（仿射量）
三、对称仿射量的主向和主值
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三、对称仿射量的主向和主值
笛卡儿坐标
A 张量分析
§A-5 二阶张量（仿射量）
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A 张量分析
§A-5 二阶张量（仿射量）
四、各向同性张量
各向同性张量——在坐标任意变换时, 各分量保持不变的张量
零阶张量(标量)总是各向同性的。一阶张量(即矢量) 总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,如果其三个主值相等, 即S1=S2=S3=λ,则是各向同性的。
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§A-5 二阶张量（仿射量）
四、各向同性张量
证明：
(1)4个指标都相同的分量有3个
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§A-5 二阶张量（仿射量）
四、各向同性张量
证明：
(2) 4个指标有3个相同的分量有24个
以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为
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要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等， A1112 。必为零。
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所以 A1123=0。其它都为零。
(3) 4个指标中有2个相同的分量有36个
以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800