文档介绍：函 数 对 称 性 的 探 究
绍兴县越崎中学数学组 徐民江
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容,,函数的对称性是函数的一个根本性质,对称关系不仅广泛存在于≠b）,那么y = f (x)是周期函数，且2｜ a－b|是其一个周期。（精品文档请下载）
③假设函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b）,那么y = f （x）是周期函数,且4| a－b｜是其一个周期.（精品文档请下载）
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y = f （x）图像既关于点A （a ,c） 成中心对称,
∴f (x) + f （2a－x） =2c,用2b－x代x得:
f （2b－x） + f [2a－（2b－x） ］ =2c………………（＊）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
∴ f (2b－x） = f （x）代入（*)得：
f （x） = 2c－f [2（a－b） + x］…………(＊＊),用2（a－b)－x代x得
f ［2 (a－b）+ x］ = 2c－f [4（a－b） + x］代入（*＊）得：
f （x） = f [4（a－b） + x］，故y = f （x）是周期函数,且4｜ a－b|是其一个周期。（精品文档请下载）
不同函数对称性的探究
定理4。 函数y = f （x）和y = 2b－f （2a－x)的图像关于点A (a ,b）成中心对称。（精品文档请下载）
定理5。 ①函数y = f (x）和y = f （2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.
②函数y = f (x)和a－x = f (a－y）的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)和x－a = f （y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.
定理4和定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
设点P（x0 ,y0）是y = f (x）图像上任一点，那么y0 = f (x0)。记点P（ x ，y）关于直线x－y = a的轴对称点为P‘(x1， y1），那么x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 ， y0= x1－a 代入y0 = f （x0)之中得x1－a = f （a + y1) ∴点P‘（x1, y1）在函数x－a = f （y + a）的图像上。（精品文档请下载）
同理可证：函数x－a = f (y + a）的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的
③成立。（精品文档请下载）
推论：函数y = f （x）的图像和x = f （y）的图像关于直线x = y 成轴对称。
三角函数图像的对称性列表
函 数
对称中心坐标
对称轴方程
y = sin x
( kπ, 0 ）
x = kπ+π/2
y = cos x
（ kπ+π/2 ,0 ）
x = kπ
y = tan x
(kπ/2 ，0 ）
无
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的2