文档介绍：第七章非线性方程数值求解§ 一元方程求根 1)问题的提出满足函数方程 f(x)=0 (1) 的x称为方程(1) 的根,或称为函数 f(x) 的零点。如果函数?(x) 可分解为?(x)=(x ?s) mg(x) 且g(s )?0,则称 s是?(x) 的m重零点或?(x)=0 的m重根。当m=1 时,称 s是?(x) 的单根或单零点。若f(x) 不是x的线性函数, 则称(1) 为非线性方程, 特别地, 若f(x) 是n次多项式,则称(1) 为n次多项式方程或代数方程。理论上已证明,对于次数 n<=4 的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于 5的多项式方程, f(x)=0 的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。求根问题包括:根的存在性、根的范围和根的精确化。求根方法中最直观最简单的方法是二分法。 2)预备知识定理 1.(根的存在定理)假设函数 y=f(x) ?C?a,b ?,且f(a) ·f(b)<0, 则至少存在一点 x ?(a,b) 使得 f(x )=0. (并称区间(a,b) 为有根区间) 定理 y=f(x) 在?a,b ?上单调连续,且 f(a) ·f(b)<0, 则恰好只存在一点 x ?(a,b) 使得 f(x )=0 定理 y=f(x) 在x=s 的某一邻域内充分可微, 则s是方程 f(x )=0 的m重根的充分必要条件是 0)(,0)()()( )()1(???????sfsfsfsf m m? 1)问题给定方程 f(x)=0, 设f(x) 在区间[a,b] 连续,且 f(a)f(b)<0, 则方程 f(x) 在(a,b) 内至少有一根,为便于讨论,不妨设方程 f(x)=0 在(a,b) 内只有一个(重根视为一个)实根, 求满足精度要求的近似值实根。 2)概念及基本思想概念: 二分法也称对分区间法、对分法等, 是最简单的求根方法,属于区间法求根类型。基本思想: 利用连续函数的零点定理,将含根区间逐次减半缩小,就可以构造出收敛点列来逼近根。*xx ~ { } kx *x 二分法 3)构造原理定理 1.( 根的存在定理) 这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函数值是否反号确定,那么注意到,将含根区间分为两个长度相等的子区间后,在这两个子区间上也可利用零点原理确定根在那个子区间上,如此继续下去就达到将含根区间逐步缩小的目的,此时,在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列将它收敛于根,见下图{ } kx *x ab ξ x 1x 2x 3x f(x)4)步骤 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ), ( ). 2 ( ) : ( ) 0, ( ) ( ) 0, , , [ , ] [ , ]; , , [ , ] [ , ], ???? ?? 0 0 1 1 0 0 1. 记含根区间 [a ,b ]= [a,b], 取 中点并计算 2. 判别的值若则为根; 若取= = 即否则取= = 即得到[a ,b ],取代[a ,b ]继续运算. a b x f x f x f x x f x f a a a b x a b a x a x b b a b x b k-1 k-1 k k k-1 k-1 k k k k k-1 k-1 k-1,2 ( ) 0, ( ) (a ) 0, a b k a b a b a b x x f x x f x f x x ???? k k k k k k 3. 继续运算, 由区间[ , ]构造区间[ , ] 并得到: 若则为所求的根; 若则取[a ,b ]= [ , ]; 否则, 可取[a ,b ]= [ , ]. 1 1 * * * * (a) ( ) ( ) 0 1 (b) ( ) 2 (c) ... ..., ... ...; [ , ] [ , ] , ( ) 0,