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专题 导数与不等式的解题技巧
一．知识点
基本初等函数的导数公式
<>常用函数的导数
①<>′＝<为常数>; ②<>′＝；
③<>′＝； ④′＝；
⑤<>′＝．
<>初等函数的导数公式
①<>′＝； 差数列的前项和,若,,则下列结论正确的是〔 〕
．, ．,
．, ．,
[答案]
[解读]设〔〕 判断函数的奇偶性以与函数的单调性,然后判断,且＜,推出结果．
故选：．
[点睛]本题考查构造法的应用,利用函数的导数判断函数的单调性以与函数的奇偶性的应用,数列与函数相结合,考查计算能力．
已知函数在处的切线方程为.
<>求函数的解读式；
<>若关于的方程恰有两个不同的实根,XX数的值；
<>数列满足.
证明：①；
②.
[答案]〔〕；〔〕或；〔〕证明见解读.
[解读]〔〕把代入切线方程,求出切点,把切点坐标代入二次函数得关于,方程,再由得另一方程,联立求解,的值,则函数解读式可求；
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〔〕把〔〕中求出函数〔〕的解读式代入方程〔〕 ,然后转化为﹣〔﹣〕,然后利用导数求函数的极值,根据函数的极值情况,通过画简图得到使方程﹣〔﹣〕,即方程〔〕 恰有两个不同的实根时的实数的值；
〔〕①利用作差法证明即可；〔〕由得到,分别取,,…,代入后化简,则的整数部分可求．
[详解]
<>,依题设,有即,
解得,
∴.
<>方程,即,得,
记,
则.
令,得 .
∴当时,取极小值；当时,取极大值.
作出直线和函数的大致图象,可知当或时,
它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根.
<>①证明,得,又.
∴,
∴.
②由,得,
,
即：,
.
[点睛]本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查了函数解读式的求解与常用方法,考查了函数的零点与方程根的关系,考查了数列的和,解答此题的关键在于构造函数,然后利用导数分析函数的极值借助于函数图象的大致形状分析函数零点的情况,是难度较大的题目．
〔六〕极值点偏移与证明不等式
例．[省市学年高三第一学期质量抽测]已知函数.
〔〕求曲线在点处的切线方程；
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〔〕函数与函数的图像总有两个交点,设这两个交点的横坐标分别为,.
〔ⅰ〕求的取值围；
〔ⅱ〕求证：.
[答案]〔〕〔〕〔ⅰ〕,〔ⅱ〕见解读
[解读]〔〕求出的导数,求得切线的斜率,由得切点由点斜式方程可得切线的方程；
〔〕〔ⅰ〕函数与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题,进而研究的导数与图像即可.
〔ⅱ〕先由 〔ⅰ〕 得的单调性,分析出、不可能在同一单调区间；设,将导到上,利用函数在上单调性,欲证,只需证明,结合,,结合单调性即可证明结论 ．
[详解]〔〕解：由已知得,
∴∴,又∵,
曲线在点处的切线方程为：.
〔〕〔ⅰ〕令,
∴,
由得,；由得,易知,为极大值点,
又时,当时,
即函数在时有负值存在,在时也有负值存在.
由题意,只需满足,
∴的取值围是：
〔ⅱ〕由题意知,,为函数的两个零点,由〔ⅰ〕知,不妨设,则,且函数在上单调递增,欲证,
只需证明,而,
所以,只需证明.
令,则
∴.
∵,∴,即
所以,,即在上为增函数,
所以,,∴成立.
所以,.
[点睛]
本题属于极值点偏移问题,主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉与到用导数来研究函数的单调性、极值,教案中的重点和难点．
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练****已知函数 的极小值为.
〔〕求的值；
〔〕任取两个不等的正数,且,若存在正数,使得成立,求证：.
[答案]〔〕； 〔〕见解读.
[解读]〔〕求函数的导数,分类讨论,确定函数的单调性,即可得到结论；〔〕求出后把用,表示,再把与作差后构造辅助函数,求导后得到构造的辅助函数的最小值大于,从而得到,运用同样的办法得到,最后得到要证的结论.
[详解]〔〕显然, , 令,解得.
当时,若,为减函数；
若,为增函数,∴在处取得极小值, ∴ 解得
当时与题意不符,综上,.
〔〕由〔〕知,,
∴,∴,即.
.
设,则
再设,则,在上是减函数
∴,即,又
∴ ,即,∴, ∴,
同理可证得, ∴.
[点睛]本题考查了利用导数研究函数的单调性,由,得函数单调递增,得函数单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数和,利用函数的单调性和极值证明不等式,是一道难度较大的综合题型．
练****已知函数,.
<Ⅰ>当时,求函数在区间上的最值；
<Ⅱ>若,是函数的两个极值点,且,求证：.
[答案]<Ⅰ> 最小值为,最大值为； <Ⅱ>证明见解读。
[解读]〔Ⅰ〕求出函数〔〕的定义域,运