文档介绍：—导数大题（任意、存在性问题）
(x) = lnx + ajc2 - bx(a,b e R),函数/*(尤)在点(1 , f (1))处的切线方程为y = -2.
求函数的极值；
对于任意M，X2 G [1 -a
:.h(x)= = ——，fe[0, 1], /z(0) = 1, h (1)= .
x e e
7, 2/ + 1 — u — + (1 — (2)t +1] (1 — — Cl)
顷)= : = : ,
e e
a..l 时，h'(t)„ 0 ,可得：函数仰)在 re[0, 1]上单调递减,:.2h (1) < /?(0),可得:2x^—^<1,
e
又 a. A,
解得：a >3 — —.
2
6,0时，W)..O,可得：函数饭)在re[0, 1]上单调递增,;.2/i(0)<h⑴,可得：2><1<女*,
e
又 6, 0,
解得:a < 3 —2e.
③0<a<l时，函数饭)在Zg[0, q)上单调递减，在t^[a , 1)上单调递增.
可得：E,=h (a)=疽顷]小 + 1=，1；
由(2)可知：h (a)=竺2则(。，1)上单调递减，
4
「• 一 v2/i(x)城 v2.
e
3 — ci
Kx)^ =max{h(S)), h (1) } = max{l, }.
不等式 2/z(x),„,.„ <h(x)max 无解.
综上可得：。的取值范围是(-8, 3-2e)D(3-；，+oo).
jf(x) = x3 — x — alnx(a g R).
(1)若函数f3)在其定义域上为增函数，求。的取值范围；
(2 )当6,3时，求证：对任意的西，x2 g [1 , +oo), 且为 > 改，有 2/(x2) - 2/(石)+ (石-工2)[广(无)+ ff(x2)] > 0恒成立.
解：(1)函数/⑴的定义域为(0,+8), f'{x) = 3jc-X--, X
若函数/(%)在其定义域上为增函数，则广⑴..0在(0,WO)上恒成立，
即 3x2 -1- —..0 ,得 3x3 -x.. a, x
设 g(x) = 3x3 - x ,则 gf(x) = 9x2 -1,
当 XG(0,^)时，g'(x)vo,当尤6(：,+8)时，g'3)>0,
所以当xe(0,|)时，函数g⑴单调递减，当点(：,+8)时，函数g⑴单调递增, 故g(x)..g(()=-；，所以6,-：,即a的取值范围是(-8 , -：] •
(2)证明：由(1)得 f'(x) = 3x2-I--, X
对任意的 M，X2 G [1 , +oo),且 xx> x2,令— = t(t>V),
- 一 入2
则 2g-2g+(西 flag+/U)]
jr ] ]
=2x| — + 2(****2q/az—— +(X****3 蚌 + 3x^ — q(—I ) — 2]
x2 jq x2
=尤；- - 3尤；x2 + 3x^ — a(— — —) + lain— x2 否 x2
—(I，— 3产 +3, 一 1) — ci(t 2加，)，
令 h(t) = t lint, t g (1, +co),
t
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