文档介绍：加试模拟训练题( 38) 1、一条直线 l与⊙O 不相交, E是l 上一点, OE ⊥l,M是l 上任意异于 E的点,从 M 作圆的两条切线分别切圆于 A和B ,点 C是 MA 上的点,使得 EC ⊥ MA ,D是 MB 上的点,使得 ED ⊥ MB ,直线 CD 交 OE 于F ,求证: F 的位置不依赖于 M 的位置. 2、设函数 f:R→R 适合条件: f(x 3+y 3)= (x+ y)((f(x) 2- f(x)f(y) + (f(y)) 2) x、y∈R .试证:对一切 x∈R ,都有 f(1996x) = 1996f(x) 3、某地区网球俱乐部的 20 名成员举行 14 场单打比赛,:必有 6 场比赛,其 12 个参赛者各不相同. 4、设 1 2 200 {1, 2, , 400}, { , , , } S T a a a S ? ?? ?是的一子集,且满足(1)T 的任两个数之和不等于 401 ;( 2) 200 138452 iia ???。证明 T 中奇数的个数是 4 的倍数,且 T 中所有数字的平方和为一定数。加试模拟训练题( 38) 1、一条直线 l与⊙ O 不相交, E是 l 上一点, OE ⊥ l, M是 l 上任意异于 E的点,从 M 作圆的两条切线分别切圆于 A和B ,点 C是 MA 上的点, 使得 EC ⊥ MA , D是 MB 上的点,使得 ED ⊥ MB ,直线 CD 交 OE 于 F, 求证: F的位置不依赖于 M 的位置. 【题说】第三十五届( 1994 年) IMO . 【证】设 EM = x, OE = a ,圆半径为 R ,连结 OM .设 OM 交 AB于 J, OE 交 AB 于H ,则易知 OJ ⊥ AB .从而∠ AJM =∠ OEM = 90o,J、M、E、H 四点共圆. OH × OE = OJ × OM = OA 2, 即 OH = R 2a , EH = OE - OH = a 2-R 2a 设E在 AB 上的射影为 G .由于 E、A、B 都在以 OM 为直径的圆上,对这个圆的内接三角形 MAB ,E 点的西摩松线 CD 通过 G 点. 连 EB .由 E、G、B、D 共圆, ∠ EGD =∠ EBD .由 E、B、O、M 共圆, ∠ EBD =∠ EOM = 90o- ∠ GHE .所以∠ FGH = 90o-∠ EGD =∠ GHE .从而 F 是直角三角形 EGH 斜边的中点. EF = 12 EH = a 2-R 22a 为定值,故 F 为定点,它的位置与 M 的位置无关. 2、设函数 f:R→R 适合条件: f(x 3+y 3)= (x+ y)((f(x) 2- f(x)f(y) + (f(y)) 2) (1) x、y∈R .试证:对一切 x∈R ,都有 f(1996x) = 1996f(x) 【题说】 1996 年中国数学奥林匹克( 第十一届数学冬令营)题3. 【证】在(1) 中令 x=y=0 ,得 f(0) =0. 在(1) 中令 y=0 ,得 f(x 3)= x(f(x)) 2,x∈R (2) 因此,当 x≥0 时, f(x) ≥0;x≤0 时, f(x)