文档介绍：加试模拟训练题( 41) 1、设H 是锐角△ ABC 的垂心,由 A 向以 BC 为直径的圆作切线 AP 、 AQ ,P、Q : P、H、Q 三点共线. 2、f 为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数,求所有满足下列条件的 f: (1)f(xf(y))f(y) = f(x + y); (2)f(2) =0; (3)f(x) ≠0 ,当 0≤x<2. 3、集合 A= {0,1,2,3,4,5,6, 7} ,满足下列条件(1) 、(2) 的A到A 上的映射 f 有几个? (1)i ,j∈A,i≠j则 f(i) ≠ f(j) ; (2)i ,j∈A,i+j=7 ,则 f(i) + f(j) =7. 4、求所有的正整数 n 、m ,满足 5 4 7 1 m n n + = - . 加试模拟训练题( 41) 1、设 H 是锐角△ ABC 的垂心,由 A 向以 BC 为直径的圆作切线 AP 、 AQ ,P、Q : P、H、Q 三点共线. 【题说】 1996 年中国数学奥林匹克(第 11 届数学冬令营)题 1. 【证】设 BC 中点为 O ,连结 AO , PQ ,交于 G ,则 AO ⊥ PQ . 在 Rt△ AQO 中, 由射影定理有 AQ 2= AG · AO( 1) 作 AD ⊥ BC 于D ,则 H在 AD BH ,延交 AC 于E,则 BE ⊥ AC ,且 E H、D、C、E 共圆,从而 AH · AD = AE · AC = AQ 2( 2) 由( 1)、( 2) ,得 AH · AD = AG · AO 因此 H、 D、 O、 G ∠ HGO = 180 o-∠ HDO = 90o ,即 H在 PQ 上. 【另证】设 BC 中点为 O, AD 、 BE 为高,则 AD 、 BE 都过 H ,并且 E 在以 BC 为直径的圆上, O 是这圆的圆心. 因为∠ ADC +∠ HEC = 90o+ 90o= 180 o ,所以 E、C、D、H 四点共圆, AH · AD = AE · AC .又 AQ 是⊙O 切线,所以 AE · AC = AQ 2. 因为 AH · AD = AQ 2 ,所以△ AHQ ∽△ AQD ,∠ AHQ =∠ AQD .同理, ∠ AHP =∠ APD . 因为 P、D、Q 都在以 OA 为直径的圆上,所以∠ AQD +∠ APD = 180 o. 从而∠ AHQ +∠ AHP = 180 o ,即 P、 H、 Q 三点共线. 2、f 为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数,求所有满足下列条件的 f: (1)f(xf(y))f(y) = f(x + y); (2)f(2) =0; (3)f(x) ≠0 ,当 0≤x<2. 【题说】第二十七届(1986 年) 国际数学奥林匹克题 5 .本题由英国提供. 解:如果ω>2 ,那么在(1) 中取 y=2,x=ω-2 ,就得 f(ω)= f(( ω- 2)f(2)) · f(2) =0 因为 x≥0 ,在(1) 中令 0≤y<2 ,则这样一来,当 0≤y<2,x>0 时,有综合上述,所求的 f是不难验证这一函数满足题中条件. 3、集合 A= {0,1,2,3,4,5,6, 7} ,满足下列条