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第二节 矩阵可对角化的条件
，则有，且或是的属于特征值 的特征向量。假设存在*个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知 ，矛盾。因此有，,又由得,,因此向量组线性无关。
定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则 ，即齐次线性方程组的根底解系所含向量个数不超过特征值的重数。
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证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的根底解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个根底解系,且假设,则有。现将扩大为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而可由向量组线性表示，即：
因而有：
〔2〕
其中有个。令，并将(2)式右端矩阵分块表示，则有，由相似 矩阵有一样的特征多项式，得的特征多项式为：
其中是的次多项式。从而至少是的重特征值，与是重特征值矛盾。所以。
定理5 阶矩阵可对角化的充分必要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数(即的每个特征值对应的齐次线性方程组
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的根底解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即的每个特征子空间的维数等于该特征值的重数〕。
证明：设，其中两两不同，且有。
充分性 由于对应于的特征向量有个线性无关，又个特征值互异，因此有个线性无关的特征向量，故可对角化。
必要性 〔反证法〕设有一个特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数的重数，则的线性无关的特征向量个数小于，故不能与对角矩阵相似。
例2 设 ，求的特征值和特征向量，并判断是否可对角化？
解：由得的特征值为〔二重特征值〕。
当时，由，即：
得根底解系为，从而的属于特征值的特征向量为〔为任意非零常数〕。
当时，由，即：
得根底解系为，从而的属于特征值的特征向量为〔为任意非零常数〕。
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由于的特征值对应的齐次线性方程组的根底解系所含向量个数小于特征值的重数，故不可对角化。
例3 巳知 ，判断能否对角化？假设能对角化，求可逆矩阵，使得为对角阵。
解：由得的特征值为〔二重特征值〕。
当时，由，即：
得根底解系为，从而的属于特征值的特征向量为〔为任意非零常数〕。
当时，由，即：
得根底解系为及，从而的属于特征值的